Одномерная оптимизация

В самом простом случае нахождения оптимального решения критерий можно выразить как гладкую функцию одного переменного, заданную на отрезке. Тогда нахождение решения сводится к вычислению значений критерия в экстремальных точках внутри и на границах отрезка. Затем мы сравниваем эти значения и находим наилучшее из них. Экстремальные точки внутри отрезка можно найти графически, или приравняв производную от критерия к нулю. Рассмотрим две задачи, решаемые таким способом.

Выбор оптимальной точности соблюдения температурного режима

При производстве йогурта важнейшим фактором, определяющим качество продукции, является температурный режим. Если температура выше допустимой, йогурт «сварится», полезные микроорганизмы в нем погибнут. Если температура обработки ниже требуемой, вредные микроорганизмы могут остаться в напитке. И то и другое приводит к потерям. Очевидно, что чем точнее выдерживается температурный режим, тем меньше вероятность потерь. В таблице 1.1. приведены данные о зависимости вероятности потерь от точности соблюдения температурного режима.

Таблица 1.1.

Точность соблюдения температурного режима	Вероятность потерь
1%	0,005
2%	0,02
3%	0,045
4%	0,08
5%	0,125
6%	0,18
7%	0,245
8%	0,32
9%	0,405
10%	0,5

Казалось бы, нужно выдерживать температурный режим с максимально допустимой точностью, но при повышении точности возрастает стоимость оборудование и затраты на его использование. В таблице 1.2. приведены данные о зависимости стоимости оборудования и эксплуатационных расходов от точности соблюдения температурного режима.

Таблица 1.2.

Оборудование	Точность соблюдения температурного режима	Цена	Период амортизации	Годовые затраты на обслуживание	Годовые затраты
Ип1	1%	500010,00	5	100000,00	200002,00
Ип2	2%	125010,00	3	25000,00	66670,00
Ип3	3%	55565,56	3	11111,11	29632,96
Ип4	4%	31260,00	3	6250,00	16670,00
Ип5	5%	20010,00	3	4000,00	10670,00
Ип6	6%	13898,89	2	2777,78	9727,22
Ип7	7%	10214,08	2	2040,82	7147,86
Ип8	8%	7822,50	2	1562,50	5473,75
Ип9	9%	6182,84	1	1234,57	7417,41
Ип10	10%	5010,00	1	1000,00	6010,00

Нам требуется выбрать оборудование, обеспечивающее оптимальную точность соблюдения температурного режима.

Сформулируем критерий оптимальности: Наилучшим решением будем считать то, которое обеспечит минимальную сумму затрат и потерь, связанных с производством йогурта. Чтобы сопоставить затраты и потери, приведем их к одному временному периоду и одной единице измерения. Выберем в качестве интервала времени один год.

Годовые потери оценим как произведение годового объема выпуска продукции V (выраженному в рублях) на вероятность потерь P(Δ) для данной точности Δ: .

Годовые затраты складываются из эксплуатационных затрат и годовой амортизации стоимости оборудования: .

на рис. 1.1 приведен график зависимости суммы L+C от точности Δ.

Рис.1.1 Зависимость затрат и потерь от точности соблюдения температурного режима.

Как видно из графика, минимальное значение суммы потерь и затрат будет при . Это и будет оптимальный выбор.