Свойства оптимального решения двойственной задачи
Введем обозначения:
A- матрица коэффициентов прямой задачи aij;
– вектор-столбец ограничений ресурсов;
–
вектор-строка целевых коэффициентов.
Если
каждый компонент вектора
не
превышает соответствующий компонент
вектора
,
то будем записывать:
Теперь прямую задачу можно записать в матричном виде:
(4.11)
Основное неравенство теории
двойственности. Для любых допустимых
решений
и
прямой и двойственной задач линейного
программирования справедливо неравенство:
(4.12)
Обозначим:
-
оптимальное решение прямой задачи;
-
оптимальное решение двойственной задачи
Малая теорема двойственности. Для существования оптимального решения любой из задач двойственной пары необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них.
Если для некоторых допустимых решений
и
пары
двойственных задач выполняется равенство
,
то векторы
и
являются
оптимальными решениями соответствующих
задач линейного программирования.
Основная теорема двойственности. Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают; если же целевая функция одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива.
Экономическое содержание основной теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного реализацией оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой стоимости имеющихся ресурсов в теневых ценах.
Теорема о дополняющей нежесткости. Для того чтобы допустимые решения и пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий:
и
(4.12)
Другими словами, если при подстановке оптимального решения какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна равняться нулю. Если же какая-либо компонента оптимального решения одной из задач положительна, то при подстановке оптимального решения в соответствующее ограничение двойственной задачи, ограничение должно обращаться в точное равенство.
Использование отчетов инструмента «Поиск решения»
При использовании симплекс-метода двойственная задача решается одновременно с исходной задачей линейного программирования. Поэтому, если найдено решение исходной задачи, известно и решение двойственной.
В инструменте «Поиск решения» результаты решения, как прямой, так и двойственной задач можно увидеть в отчетах. После получения результатов в окне «Результаты поиска решения» становятся доступны три отчета: «Результаты», «Устойчивость» и «Пределы» (рис.3.4). При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение «Отчеты устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями».
Отчет по результатам
В соответствии со своим названием, отчет по результатам описывает результаты решения исходной задачи. Отчет содержит три таблицы: «Целевая ячейка», «Изменяемые ячейки» и «Ограничения».
В таблице «Целевая ячейка», приведены сведения о целевой функции до начала и после вычисления. Если до начала вычислений в массиве «изменяемые ячейки» было записано допустимое решение, данная таблица позволяет оценить, насколько найденное решение лучше исходного.
В таблице, «Изменяемые ячейки» указаны начальные и оптимальные значения изменяемых переменных. Для каждой изменяемой ячейки отводится отдельная строка таблицы. Указываются: адрес ячейки, ее имя (например, «Склад №1 магазин №1» - ячейка содержит данные о перевозках товара с первого склада в первый магазин).
Самая интересная таблица «Ограничения». Каждое ограничение описывается в отдельной строке. Указываются адрес и имя ячейки, достигнутое значение, формула ограничения, статус и разница. Статус ограничения может принимать три состояния: «связанное», «несвязанное» или «невыполненное». Связанное ограничение - это ограничение, для которого значение разницы равно нулю (например, ресурс используется полностью, что может стать причиной невозможности расширения производства). Несвязанное ограничение - это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы (например, ресурс используется не полностью). Если поиск решения закончился неудачно из-за невозможности выполнения некоторых ограничения, в соответствующих строках будет указан статус «невыполненное».
Разница - это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения (например, остаток ресурса). В производственной задаче, разница – это остаток ресурса при выполнении оптимального плана. Очевидно, для связанных ячеек разница равна нулю.