Лекция 4. Двойственная задача линейного программирования

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом можно считать оптимальным только при оперативном управлении, когда требуется действовать в сложившейся ситуации. Но как сложилась такая ситуация и можно ли считать оптимальным решение, когда часть ресурсов пылиться на складах, а выпуск востребованной продукции ограничен из за дефицита ресурсов другого вида? Например, склад готовой продукции автозавода забит недоделанными автомобилями из-за нехватки подшипников одного типа.

Теневая цена ресурсов

Чтобы разобраться в этой ситуации и выбрать наилучшее решение по ее устранению, давайте оценим, насколько нам важен каждый ресурс.

Теневая (внутренняя) цена ресурса показывает, насколько увеличится прибыль от производства при увеличении запаса данного ресурса на единицу. 

Она характеризует субъективную ценность ресурса с точки зрения производителя и не имеет ничего общего с рыночной ценой ресурса. В частности, если ресурс имеется в избытке (не используется полностью в оптимальном плане), его теневая цена равна нулю.

Как оценить теневые цены ресурсов?

Симметричная пара задач линейного программирования

Рассмотрим задачу нахождения плана выпуска продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.

Пусть: планируемые объемы выпуска продукции (план выпуска);

c_j - доход, получаемый от выпуска единицы i- того вида продукции;

m - число видов ресурсов, используемых для выпуска продукции;

a_ij – затраты i-того ресурса на производство единицы j-того продукта.

Сформулируем исходную задачу линейного программирования:

Найти максимальное значение критерия:

(4.1)

при ограничениях:

(4.2)

Обозначим теневые цены используемых ресурсов через . Выберем теневые цены так, чтобы выраженная в них себестоимость единицы каждого вида продукции была не ниже дохода от продажи этой продукции:

, (4.3)

а суммарная стоимость имеющихся ресурсов была минимальной:

(4.4)

Кроме того, естественно считать расчетные оценки неотрицательными:

(4.5)

Мы получили задачу линейного программирования, которую называют двойственной по отношению к исходной. Если в исходной задаче ограничения заданы только неравенствами вида , пару исходной и двойственной задачи называют симметричной парой.

Несимметричная пара задач линейного программирования

Если система ограничений исходной задачи содержит как неравенства, так и уравнения, то в двойственной задаче переменные, отвечающие ограничениям-равенствам, могут принимать значения любого знака, тогда как ограничениям-неравенствам будут соответствовать неотрицательные переменные (это следует из того факта, что уравнение эквивалентно двум неравенствам с противоположными знаками):

(4.6)

Дадим математическую формулировку несимметричной пары задач линейного программирования:

Исходная задача: Найти максимальное значение критерия:

(4.7)

при ограничениях:

(4.8)

Для j=h+1…n переменные могут иметь любой знак.

Двойственная задача: Найти минимальное значение критерия:

(4.9)

при ограничениях:

(4.10)

Для i=k+1…n переменные могут иметь любой знак.

Пара задач линейного программирования такого вида называется несимметричной парой.

В любом случае двойственная задача составляется из исходной прямой задачи согласно следующим правилам:

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путем транспонирования.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

5. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум, и наоборот.

6. Коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

7. Если переменная прямой задачи не отрицательная, то j-тое условие системы ограничений двойственной задачи является неравенством. Если х_j — любое число, то условие двойственной задачи представляет собой уравнение.

8. Если i-тое соотношение исходной задачи является неравенством, то соответствующая оценка i-го ресурса — переменная у_i ≥ 0, если i-тое соотношение представляет собой уравнение, то переменная двойственной задачи у_{i -} любое число.

Если система ограничений исходной задачи содержит неравенство вида « », его перед построением двойственной задачи следует умножить на –1, точно так же следует поступить с целевой функцией исходной задачи, если она минимизируется.