Методы оптимальных решений

Курс лекций

Лекция 1. Оптимальные решения в экономике. Основные понятия 1

Ситуации, в которых требуется принять оптимальное решение 1

Понятие «Оптимальное решение» 1

Этапы принятия решения 3

Решения, связанные с управлением экономическим объектом 3

Эффект и затраты. Принцип В.В. Новожилова 4

Одномерная оптимизация 6

Выбор оптимальной точности соблюдения температурного режима 7

Нахождение цены товара, приносящей максимальную прибыль 8

Лекция 2. Линейные задачи оптимизации 10

Задачи линейного программирования 10

Геометрическое решение задач линейного программирования 11

Классические задачи, приводящие к линейным задачам оптимизации 13

Производственная задача 13

Транспортная задача 14

Посторенние модели 15

Математическая постановка задачи 16

Лекция 3. Симплексный метод 18

Использование инструмента «Поиск решения» 22

Параметры поиска решения 23

Сохранение модели поиска решений 24

Решение транспортной задачи с помощью инструмента «Поиск решения» 25

Анализ результатов и решения менеджера 25

Лекция 4. Двойственная задача линейного программирования 26

Теневая цена ресурсов 26

Симметричная пара задач линейного программирования 26

Несимметричная пара задач линейного программирования 27

Свойства оптимального решения двойственной задачи 28

Использование отчетов инструмента «Поиск решения» 29

Отчет по результатам 29

Отчет по устойчивости 30

Отчет по пределам 32

Лекция 1. Оптимальные решения в экономике. Основные понятия Ситуации, в которых требуется принять оптимальное решение

Примеры неоптимальных решений:

Новые русские менеджеры

Каскад гидростанций на Ганге

Эффект кобры

Понятие «Оптимальное решение»

Проблема – это то, что нас беспокоит, ситуация, которую мы должны и хотим изменить.

Решить (устранить) проблему – найти путь (последовательность действий) или сочетание условий (параметров) при которых проблема пропадает или перестает быть актуальной.

Задача- проблема, про которую мы знаем, как ее решать.

Постановка задачи - превращение проблемы в задачу

Как правило, для превращения проблемы в задачу, требуется построить модель проблемной ситуации: выделить объекты системы, содержащей проблему, определить их характеристики, важные для решения нашей проблемы, описать связи между этими характеристиками и ограничения их значений. Такая модель позволяет найти допустимые решения проблемы.

Допустимое решение – решение, удовлетворяющее всем требованиям и ограничениям задачи.

Не все допустимые решения одинаково хороши. Например, реализация одних, требует больших затрат, чем других. Для выбора оптимального решения необходимо знать множество допустимых решений и правило предпочтения (какое решение считать лучшим). При этом мы должны учитывать все последствия принимаемого решения.

Оптимальное решение – одно из допустимых решений, дающее наилучший результат с учетом всех ожидаемых последствий.

Во многих практических задачах правило предпочтения можно выразить через критерий – величину, заданную для всех возможных решений (математики говорят, что критерий – функция, заданная на множестве решений). В этом случае, выбор оптимального решения равносилен определению экстремального¹ значения критерия на множестве допустимых решений. Например, покупая обувь для осеннего сезона, мы стремимся сократить свои затраты. Если в качестве критерия выбрать цену обуви, мы выберем самую дешевую пару. Однако дешевая обувь недолговечна и вскоре потребуется ее заменить. Более правильным критерием будет минимум затрат на обувь в течение 2-3 лет (за этот период мода настолько изменится, что обувь все равно придется менять).

Далеко не всегда конкретную проблему можно свести к одному критерию. Например, нам бы хотелось как можно скорее доехать на автомобиле до определенного места, затратив как можно меньше времени и бензина. Но с увеличением скорости расход бензина растет, и мы не сможем найти одно решение, удовлетворяющее сразу обоим критериям. Хорошей стратегией решения подобных задач является превращение одного из критериев в ограничение. Например: добраться до нужного места не более чем за 1,5 часа, истратив как можно меньше бензина.

Однако встречаются случаи, когда нам приходится решать действительно многокритериальную задачу. Например, нам требуется разместить на территории области сервисные центры так, чтобы удовлетворить потребности максимального числа клиентов и, при этом, чтобы рентабельность нашей сети была максимальной. Следует помнить, что клиенты, не удовлетворенные нашей сетью, уйдут к нашим конкурентам, но и низко-рентабельное предприятие снижает конкурентоспособность нашего бизнеса. Знаменитый ученый Парето² предложил разбить множество допустимых решений многокритериальной задачи на две области. В первой области для каждой точки можно найти точку, улучшающую значения всех критериев, во второй (области Парето) любое улучшение одного из критериев ухудшает другие критерии. Граница между этими областями (граница Парето) это линия (в многомерном случае, гиперповерхность), движение по которой не изменяет значения критериев.

Математическое решение многокритериальной задачи оптимизации сводится к нахождению границы и области Парето. Если мы хотим уточнить решение, мы должны понять, чем (ухудшением каких критериев и насколько) мы готовы пожертвовать, чтобы улучшить значение выбранного критерия. На этом принципе построен метод уступок: двигаясь внутри области Парето, мы каждый раз решаем, на какие уступки мы готовы, чтобы продолжить движение. Отметим, что таким методом можно пользоваться только, если мы хорошо понимаем смысл решаемой задачи и роль каждого критерия в поиске наилучшего решения.