В результате определены положение и направление осей симметрии фигуры, ее полуоси

a² = | | , b² = | |

и она может быть построена геометрически.

В случае = 0 имеем параболу. Если её ось симметрии | | оси Ох, то уравнение сводится к виду ( 49 )

если нет , то к виду ( 50 )

где выражения в скобках, приравненные к 0, определяют .линии новых осей координат

,

Пример. Найти центры и привести к каноническому виду и построить кривые :

1) 2 x² + 3 y² - 4x + 6y - 7 = 0 ;

2) 2 x y = a²

Решение 1). B = 0, = -72 0 , = 6 > 0 - эллипс

Выполним приведение к полному квадрату: 2 (x - 1)² + 3 (y + 1)² - 12 = 0

Координаты центра симметрии ( 1; - 1), линейное преобразование X = x - 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X² /6 + Y² /4 = 1 , где a = 2.48 ,b = 2

2). B = 1, = a² 0 , = - 1 < 0 - гипербола

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол .. По формуле ( 45 ) имеем tg 2 = B/(A - C) = , т.е. = 45⁰. Коэффициенты канонического уравнения ( 46 ) A⁺ , C⁺ определяются уравнением ( 48 ) : t² = 1 или t_1,2 = 1 A⁺ = 1, C⁺ = -1, т.е. X² - Y² = a² или X² / a² - Y² / a² = 1

У равнение 2х у = а² описывает гиперболу с центром в (0;0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.

3.7. Полярные координаты

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определят полярный угол и радиус-вектор r = OM. Если полярная ось совпадает с осями координат хОу, то

x = r cos , y = sin ( 51 )

и обратный переход

r = , tg = y/x ( 52 )

Если полюс совпадает с фокусом эллипса, гиперболы, параболы и луч ОР направлен по оси симметрии в сторону более удаленной вершины, то уравнения всех трех кривых будут одинаковы

r = ( 53 )

где - эксцентриситет, р – параметр. Для эллипса и гиперболы р = b²/a .

Уравнение типа ( 53 ) r = r( ) наз. полярным уравнением. Для построения графика такой функции из полюса проводят лучи с шагом и откладывают точку на расстоянии r от полюса.

Пример. x² + y² = 4x (x – 2)² + y² = 4 - уравнение окружности с центром в (2;0), R = 2. Полярное уравнение: r² cos² + r² sin² = 4 r cos r = 4 cos , .

3.8. Вопросы для самопроверки

п л о с к о с т ь

1. основная идея аналитической геометрии;

2. тип алгебраических уравнений, описывающих линии на плоскости и в пр - ве;

3. в какой момент совершается переход от алгебры к геометрии;

4. на чем основывается переход от геометрической линии к алгебр. уравнению;

5. алгоритм перехода от геометрической линии к алгебраическому уравнению;

6. перечислить геометрические способы задания линии на плоскости;

7. перечислить и записать все 7 формы уравнения прямой на плоскости;

8. как связаны координаты направляющего и нормального вектора прямой на плоскости;

9. написать формулу – расстояние от прямой до начала координат на плоскости;

10. написать формулу – расстояние от произвольной точки до прямой на плоскости;

11. как определяется точка пересечения двух прямых и угол между ними;

12. условия параллельности и перпендикулярности двух прямых;

п р о с т р а н с т в о

13. перечислить два геометрических способа задания плоскости в пространстве;

14. вывод уравнения плоскости по заданной точке и нормальному вектору;

15. вывод уравнения плоскости по трем заданным точкам;

16. геометрический смысл уравнения плоскости в отрезках;

17. написать формулу – угол между двумя плоскостями;

18. условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей;

19. написать формулу – расстояние от точки до плоскости;

20. вывод канонического и параметрического уравнения прямой в пространстве;

21. написать уравнение прямой проходящей через две заданные точки в пространстве;

22. общее уравнение прямой в пространстве и его направляющий вектор;

23. написать формулу – угол между двумя прямыми в пространстве;

24. написать формулу – угол между прямой и плоскостью;

25. условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости;

26. как находится точка пересечения двух прямых в пространстве;

27. как находится точка пересечения прямой и плоскости;

к р и в ы е 2 – ого п о р я д к а

28. записать канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы и объяснить геометрический смысл параметров в них входящих;

29. геометрические определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы;

30. как выражаются координаты фокусов эллипса и гиперболы через их полуоси;

31. чем геометрически отличаются эксцентриситеты эллипса и гиперболы;

32. сколько вершин имеет эллипс и сколько гипербола;

33. алгоритм построения гиперболы, что такое асимптоты гиперболы;

34. написать уравнение директрисы параболы; какой геометрический смысл фокального параметра параболы; 4 основных вида параболы;

35. написать формулы для параллельного переноса системы координат на плоскости;

36. написать формулы для поворота системы координат на плоскости;

37. в чем отличие канонических уравнений от общего уравнения кривых 2 порядка

38. написать оба дискриминанта общего уравнения кривой второго порядка;

39. какие геометрические действия исключают из общего уравнения кривой второго порядка линейные и перекрестные члены;

40. как строится полярная система координат ? что такое полярное уравнение ?

43