Пример.Наименьше расстояние Земли от Солнца 147,5 млн.Км, наибольшее152,5млн. Км. Найти большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты Земли.

Решение: max = a + c , min = a – c a = 150 млн. км. , с = 2,5 млн. км.

b = = 149.98 млн. км. = c/a = 0.017 , a – b = 20 т. км.

Пример. Дано: расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось рана 3 . Написать уравнение эллипса.

Решение: т.к. 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a = = 5, = c/a = 0.8, x²/25 + y²/9 =1

Гипербола

Определение. Гиперболу образуют точки плоскости для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки - фокусы, а расстояние между ними - фокальное расстояние.

1) Пусть M(x,y) – произвольная точка гиперболы.

2) Общее свойство точек |F₁M| - |F₂M| = 2a

3) Переход к координатам дает каноническое уравнение гиперболы

x²/ a² - y²/ b² = 1 ( 35 )

Гипербола имеет две ветви. Точки пересечения гиперболы с осью Ох наз. вершинами гиперболы. А(а,0) и В(-а,0). Отрезок АВ - действительная ось гиперболы. Число а - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось. Прямые с уравнениями y = b/a х и y = - b/a х наз. асимптотами гиперболы. При х ветви гиперболы вплотную проходят вдоль этих прямых.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а их начало – центром симметрии. Координата фокуса c = . Форму гиперболы характеризует эксцентриситет с/а = > 1. Чем меньше, тем меньше угол между асимптотами, сжимающими ветвь гиперболы.

А лгоритм построения графика гиперболы.

1.Через концы осей провести прямые || осям координат.

2. Провести диагонали прямоугольника и их продолжение.

3.От концов действительной оси в сторону асимптот

провести сами кривые.

Пример. Даны: вещественная полуось a =2 и эксцентриситет = . Написать уравнение гиперболы.

Решение : т.к. с = a , то b = = a = 2 и x²/20 - y²/4 = 1

Парабола

Определение. Параболу образуют точки плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку.

Данная точка наз. фокусом параболы, а данная прямая наз. директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы наз. фокальным параметром и обозначается p

Уравнение директрисы x = - p/2 .

1) Пусть M(x,y) – произвольная точка параболы.

2) Общее свойство точек | MF | = | MN |, где F(р/2, 0) , N(-р/2,у).

3) Переход к координатам = x + p/2 y² = 2p x

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

y ² = 2p x - симметрия относительно (36а)

оси Ох

x² = 2py - симметрия относительно (36b)

оси Оу