Евклидово пространство e

0. Линейное пространство L наз. евклидовым пространством Е, если в пространстве L определена операция скалярного произведения двух векторов.

1. Скалярным произведением двух n - мерных векторов х и у наз. число = x y =

= x_i y_{i ,} где x_i - координаты вектора х , а y_i - координаты у.

0. Длиной (модулем) вектора х наз. число | x | = [ (x_i)² ]^1/2

1. Векторы х и у наз. ортогональными , если x y = 0 .

2. Угол между векторами х и у в n - мерном пространстве вычисляется по формуле cos (x^y) = x y / |x| |y|

3. Ортонормированным базисом в евклидовом пространстве Е наз. базис составленный из векторов e₁ , e₂ , . . . , e_n , удовлетворяющих условию

e_i e_j =

Типичные задачи по векторной алгебре

Задача 1 Показать, что векторы a = i + j + 4k , b = i - 2j , c = 3i - 3j + 4k

компланарны и найти линейную зависимость между ними.

Решение. Проверим условие компланарности трех векторов ( 19 )

a b c = = 0 . Оно выполняется. Определим линейную зависимость a, b, c . Для этого представим а как линейную комбинацию остальных векторов a = x b + y c и вычислим коэффициенты x, у . Детально распишем это равенство

i + j + 4k = x (i - 2j) + y (3i -3j +4k) = ( x + 3 y ) i + (-2x - 3y ) j + 4y k

Из равенства векторов следует равенство их координат, что приводит к системе трех уравнений для двух неизвестных х и у .

х + 3у = 1

-2х - 3у = 1

4у = 4

Из 3-его уравнения получаем у = 1, а из 1-ого х = - 2.

Эти решения удовлетворяют и 2-ому уравнению (1 = 1). Значит система не противоречива и имеет единственное решение a = - 2 b + y.

Задача 2 Даны четыре точки А(2; -1; -2) , B(1; 2; 1) , C(2; 3; 0) , D(5; 0; -6) .

Определить лежат ли эти точки в одной плоскости ?

Решение. Построим три вектора = {-1; 3;3}, ={0; 4; 2}, = {3; 1; -4}.. Проверим условие их компланарности ( 19 )

= = 0 . Оно выполняется. Значит все принадлежащие компланарным векторам точки, включая A, B, C, D, лежат в одной плоскости.

Задача 3 Найти площадь треугольника S построенного на векторах a - 2b и 3a + 2b, если |a| = |b| = 5 , (a^b) = 45⁰ .

Решение.

Площадь определим через векторное произведение S = ½ |(a -2b) х (3a + 2b)|

Само произведение можно упростить (a - 2b)x(3a + 2b) = 3 axa + 2axb - 6 bxa - 4 bxb = =8aхb, т.к. векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю и

axb = -bxa. Вычислим модуль полученного вектора

8 |a b| = 8 |a| |b| sin 45 ⁰ = (8 ∙5∙ 5∙ )/2 = 100

Ответ : S = 100 / 2 = 50 кв.ед.

Задача 4 Найти угол между векторами a = 2m + 4n, b = m - n , если |m| = |n| = 1, а угол (m^n) = 120⁰ .

Решение. Угол между векторами определяет формула ( 10 ) cos (a^b) = a b / |a||b| .

Произведение a b сведем к произведениям векторов m и n

a b = (2m + 4n) ( m - n) = 2m² - 2mn + 4mn - 4n² = 2|m|² - 4|n|² + 2m n =

= 2 - 4 + (2∙ 1 ∙1∙ cos 120⁰ ) = - 3 .

Представим модуль вектора a как квадратный корень от скалярного произведения a на a

|a| = a a = (2m + 4n) (2m + 4n) = 4|m|² +16|n|² +16 m n = 20-16/2 = 12

|b|= b b = (m - n) (m - n) = |m|² - 2mn + |n|² = 3

Вернемся к формуле ( 10 ) cos (a^b) = a b / |a| |b| = - ½. Ответ : = arccos (-1/2) = 120⁰

Задача 5. Доказать тождество (a + 2b - c) [(a - b) x (a - b - c)] = 3 a b c

Решение. Второй вектор в квадратных скобках представим как сумму двух векторов (a - b - c) = (a - b) - c и учтем, что векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю. В результате [(a - b) x (a - b - c)] = (a - b) x (-c) = - a x c + b x c .

Смешанное произведение теперь распадается на сумму 6 слагаемых

a a c + a b c - 2b a c + 2b b c + c a c - c b c

Исключим члены с совпадающими векторами, учтем равенство b a c = - a b c , и окончательно получим для левой части тождества 3 a b c .