1.5. Исследование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Если функция монотонна и непрерывна, то

.

Пусть функции дифференцируемы и . По теореме о производной обратной функции:

.

Данная формула позволяет находить производную от функции, заданной параметрически, не находя явной зависимости от .

П р и м е р 4. Вычислить производную функции, заданной параметрически:

(параметрические уравнения эллипса).

Решение. , .►

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.

Из определения второй производной следует, что , то есть

или .

Аналогично получаем , ,….

Задание 4. Построить график функции, заданной параметрически (кардиоида) и произвести исследования с помощью производных.

Решение.

1. строим график функции.

2. вычислим производную первого порядка:

3. найдем критические точки.

Получили критические точки

4. строим график производной функции

Анализируем поведение функции в этих точках с помощью графика производной и графика самой функции, заданной параметрически.

5. вычисляем производную второго порядка.

6. строим график второй производной

Из графика второй производной следует, что есть точки перегиба:

Эти выводы соответствуют виду графика функции, заданной параметрически.

Рис.7 – Выполнение задания 4

1.6. Кривые в полярной системе координат

Пусть задана полярная система координат с началом в точке О и лучом . Положение точки А на плоскости однозначно определяется с помощью координат , где - угол между лучом и лучом, на котором расположена данная точка А, выходящим из начала координат, - расстояние от начала координат до точки А, причем , а .

Рис. 4

Декартовы координаты связаны с полярными (рис. 4) по формулам

Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции .

Задание 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат формулой .

Решение. Так как , то и .

1. вычислим производную и определим точки минимума и максимума

на промежутке .

Получили, что - точка максимума, при функция принимает наименьшее значение.

2. строим график функции.

Рис.7 – Выполнение задания 5

1.7. Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Построить график функции с помощью производной первого порядка.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8.	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .

Задача 2. Построить график функции с помощью асимптот.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .

Задача 4. Построить график функции, заданной параметрически, и провести его исследование с помощью производных.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Задача 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14.	15. .