3.4.4. Построение эпюр внутренних силовых факторов в рассчитываемой системе

В матрице S, выданной на печать в результате расчёта по программе MEFOR, содержатся столбцы значений внутренних усилий по вариантам заданных воздействий, в той же последовательности, как и в исходной матрице L_ . Первые 13 строк – значения изгибающих моментов в расчётных сечениях участков, последние две строки – значения продольной силы в затяжке и реакции упругой связи соответственно. Эпюры М по вариантам воздействий строятся по данным соответствующих столбов матрицы S с соблюдением правил знаков, использованных при формировании матриц L и L_F ( см. с. 69 ), а также известных из курса

сопротивления материалов правил построения и контроля эпюр ( вид эпюр; их особенности – изломы, разрывы; дифференциальные зависимости между M, Q и q ). Для определения поперечных сил Q по найденным изгибающим моментам можно применять два способа:

1. На прямолинейном участке эпюры М ( при отсутствии распределённой нагрузки q ) – непосредственно по зависимости Q(x) = dM(x) / dx , которая при линейном законе M(x_j) на j-ом участке даёт Q(x_j) = Q_j = const = M_j / l_j , где M_j = M_ej – M_bj – разность значений моментов в концевых сечениях участка длиной l_j ; при этом знак « + » для Q_j соответствует острому углу наклона эпюры, отсчитываемому по ходу часовой стрелки от оси эпюры (продольной оси участка ).

2. На участке, где имеется равномерно распределённая нагрузка, эпюра М – парабола 2-й степени. В этом случае нужно, выделив участок стержня, приложить к нему усилия в концевых сечениях – найденные изгибающие моменты M_bj и M_ej и подлежащие определению поперечные силы Q_bj и Q_ej , а также заданную нагрузку q. Затем из условий равновесия моментов всех сил относительно крайних точек участка находятся Q_bj и Q_ej и по этим двум значениям строится линейная эпюра Q_j.

Рассмотрим определение Q_j на участке 1_М ( по схеме рис. 3.14 ) при действии постоянной нагрузки.

Расчётная схема участка приведена на

рис. 3.16. Последний индекс « 1 » в обо-

з

Q_{e1, 1}

начениях поперечных сил – номер вари-

а

Q_{b1, 1}

нта воздействия ( f = 1 ).

R_{1, 1} = 11,26

15,82

15,82

Рис. 3.19

По найденным поперечным силам из условий равновесия узлов, начиная с правого опорного ( рис. 3.17 ), вычисляются про-дольные силы N_{b3, 1} = 0 = N_{e3, 1} , затем N_{b5, 1} и N_{e2, 1} – из уравнений  x_P = 0 и  y_P = 0 для узла Р, остальные – из рассмотрения равновесия узлов K и D ( см. рис.3.1 ) и наклонных элементов KP и KD, к которым приложена нагрузка q. Аналогично определяются по-перечные и продольные силы от остальных вариантов заданных воздействий. Эпюры M, Q и N по всем вариантам представлены на рис. 3.18 и 3.19.

3.4.5. Проверка результатов расчета рамы

Напоминаем, что в методе сил главной является кинематическая проверка ( см. с. 21 ). Тем не менее, целесообразно начинать с более простой – статической проверки, т.е. контроля выполнения условий равновесия узлов, отсечённых частей и рамы в целом при найденных усилиях в ней, так как если обнаружатся ошибки в статике, выполнять более сложную проверку кинематических условий нет смысла.

Схемы вырезанных внутренних узлов D, K и Р с приложенными к ним усилиями от постоянной нагрузки показаны на рис. 3.20 ( если бы в узлах были приложены внешние силы – узловые нагрузки или реакции внешних связей, их также следовало бы учесть ). Значения и направления изгибающих моментов, продольных и поперечных сил в сечениях, которыми выделены узлы, определяются по построенным эпюрам ( см. рис. 3.18 ).

K

Подчеркнём, что силовые факторы нужно «считывать» с эпюр, а не брать из компьютерной распечатки, так как проверять следует «конечный продукт» расчёта, а таковым являются именно эпюры M, Q и N. Строго говоря, контролируются усилия, найденные в основной системе. Но если решение правильное, то они должны быть равными искомым усилиям в рассчитываемой СНС. Поэтому на рис. 3.20 и в дальнейшем изображаются узлы и части заданной рамы.

Проверку равновесия начинаем с узла Р:

 m_P = 51,59 – 34,96 – 16,64 = –0,01 ( относительная погрешность % = –0,019 % );

 x_P = – 4,16 – 5,86 + = 27,712 – 27,708 =

= 0,004 ( +0,014 % );

 y_P = 73,11 – 28,74 = 73,11 – 73,108 =

= 0,002 ( +0,003 % ) – можно считать, что условия равновесия узла Р выполняются с хорошей точностью.

раму от «земли» сече-

нием, проходящим по

стержням бесконечно

близко к опорам, пос-

ле приложения в се-

чениях элементов уси-

лий, взятых с эпюр

Q_const и N_const ( изгиба-

ющие моменты у шар-

нирных опор равны

0 ), получаем схему,

представленную на

рис. 3.21.

q = 10 кН/м

Взаимно противоположно направленные одинаковые по абсолютным величинам моменты в узлах D и K попарно точно уравновешивают друг друга. Проверять равновесие сил Q и N в узлах практически бесполезно, так как эти условия ранее были использованы для определения продольных сил по найденным поперечным силам. Значительно более надёжным является контроль равновесия рамы в целом и её отсечённых частей. Отделив

Рис. 3.21

Проверяем равновесие рамы в целом:

 x = 4,16 – 4,16 = 0;  y = 35,63 +73,11+11,26 = 120 –120 = 0;

 m_K = =

= 411,64 – 411,64 = 0 – все три уравнения выполняются точно.

Далее сечением а – а ( рис. 3.21) отделяем часть рамы и,

п

q = 10 кН/м

риложив к ней нагрузку и

в ыявленные сечением сило-

в

K

ые факторы ( рис. 3.22 ), вы-

ч

28,74

22,49

исляем:



4,16

x = –

5,86

–

16,64

34,96

16,64

29,40

5,86 – 4,16 = 23,52 – 23,51=

=

73,11

0,01 ( + 0,043 % );



4

4

y = +

+

Рис. 3.22

73,11 – 28,74 =

= 108,74 – 108,74 = 0;

 m_K =16,64 =

= 309,08 – 309,07 = 0,01 ( + 0,003 % ) – результат хороший.

Можно рассмотреть ещё несколько отсечённых частей.

Кинематическую проверку выполняем по формуле ( 1.29 ), которая в случае расчёта рамы на постоянную нагрузку записывается в виде

.

Используя суммарные единичные усилия ( см. с. 56 ) и эпюры, представленные на рис. 3.18, находим

( с погрешностью – 0,052 % ).

Аналогично выполняются проверки результатов расчётов при других вариантах заданных воздействий на рассчитываемую раму.

Не приводя здесь статические проверки ( читатель может самостоятельно убедиться в том, что они выполняются ), покажем кинематические проверки для вариантов с изменением температуры ( temp. 2 ) и смещениями опор ( temp. 3 ):

,

где _it – свободные члены КУМС ( см. с. 63 и 64 ) ;

точно совпадает с – (_1t +__2t + _3t ) = – _st ( см. с. 64 );

,

где _iс – см. на с. 65;

( см. с. 66 ).

Замечания: 1. Вместо универсальной кинематической проверки по условию ( 1.29 ) или в дополнение к ней могут выполняться частные проверки по ( 1.30 ).

2. Если использовать формулы ( 1.27 ) и ( 1.28 ), то результаты вычислений по ним с приемлемой вычислительной погрешностью должны быть равными 0.

Вывод: полная проверка силовых факторов, найденных расчётом статически неопределимой рамы методом сил, свидетельствует о правильности решения задачи.