3.4. Компьютерный расчет рамы в матричной форме

В разработанной на кафедре строительной механики НГАСУ (Сибстрин) программе MEFOR, предназначенной для расчёта методом сил линейно деформируемых стержневых систем при многовариантных воздействиях силового, кинематического и температурного типов, реализуется вычисление искомых усилий по матричным выражениям ( 1.34 ) и ( 1.36 ). Для выполнения расчёта должны быть составлены и введены в компьютер следующие исходные матрицы:

L – усилий в упруго деформируемых элементах ОСМС ( в том числе упругих связях ) в единичных состояниях;

L_F – усилий в упруго деформируемых элементах системы от заданных нагрузок по вариантам воздействий;

L_t – единичных усилий в элементах с температурными деформациями;

T – матрица заданных приращений температуры элементов системы по вариантам воздействий;

В – матрица внутренней упругой податливости ОСМС;

B_t – матрица температурной податливости;

R_ – матрица реакций смещаемых связей от единичных основных неизвестных;

_c – матрица заданных кинематических воздействий ( смещений связей ) по вариантам воздействий.

Для вычисления усилий в специально назначенном наборе, по формулам ( 1.36 ), дополнительно требуются матрицы и ( см. с. 30 ).

3.4.1. Формирование матриц для расчёта по программе mefor

Матрицы L , L_F и B формируются из блоков стандартной структуры в зависимости от количества расчётных сечений на расчётных участках ОСМС c упругими (силовыми) деформациями ( см. с. 23 ). Схема участков и сечений, составленная по правилам, изложенным на с. 28, приведена на рис. 3.14. Границы расчётных участков назначены:

– в местах изменения жёсткостей сечений;

– на границах грузовых участков во всех единичных состояниях ОСМС и в её «грузовых» состояниях (от заданных нагрузок 1-го и 2-го вариантов воздействий); при этом учитывались грузовые участки эпюр изгибающих моментов для элементов рамы с преобладающим изгибом ( стоек, наклонных и правого горизонтального стержней ), а также по одному участку в пре-делах элементов, работающих на растяжение / сжатие, – затяжки и ( условно ) упругой опоры.

4_M

7_R

П р и м е ч а н и е: индекс «М» у номера участка означает, что в расчетных сечениях участка описываются изгибающие моменты, «N» указывает на продольные силы ( в данной задаче – только в затяжке ), а «R» – реакции упругих связей ( здесь – одной опорной связи ).

На участках 1_M , 2_M и 3_M , где в одном из вариантов имеется равномерно распределённая нагрузка, назначены по три сечения b_j , c_j и e_j ( в начале, посредине и в конце j-го участка ); на свободных от распределённых нагрузок участках 4_M и 5_M стержней, работающих на изгиб, намечены по два концевых расчётных сечения b_j и e_j ; а на участках 6_N и 7_R с растяжением /сжатием – по одному среднему – с₆ и с₇ .

Для составления матрицы L используются данные о внутренних усилиях в единичных состояниях ОСМС.

В рассматриваемой задаче число столбцов матрицы L равно 3 – по числу основных неизвестных X. В первый столбец L₁ матрицы L записываются последовательно усилия в сечениях расчётных участков 1, 2, …, 7 ( рис. 3.14 ) – изгибающие моменты М₁ , продольная сила в затяжке и реакция упругой опоры от X₁ = 1, во второй столбец L₂ – от X₂ = 1 и т.д. ( см. рис. 3.4 ). Количество строк матриц L равно общему числу сечений всех рас-чётных участков ОСМС.

Число строк и структура столбцов матрицы L_F усилий от заданных воздействий – такие же, как у матрицы L . Столбцов у этой матрицы столько, сколько вариантов заданных воздействий, – в решаемой задаче 4. В первом столбце – значения изгибающих моментов, N₆ и R₇ от постоянной нагрузки ( 1-й вариант воздействий ), приведённые на рис. 3.8, а, б. Второй столбец – моменты, N₆ и R₇ от 2-го варианта нагрузок – по рис. 3.8, в, г. В 3-м и 4-м столбцах – нули, так как в статически определимой ОСМС усилия от изменения температуры ( 3-й вариант ) и смещений связей ( 4-й вариант ) не возникают.

Правила знаков для внутренних усилий в сечениях j-го расчётного участка: положительными считаются

– моменты M_{j, i} , соответствующие растяжению нижних и правых волокон;

– растягивающие продольные силы N_{j, i}.

В программе MEFOR предусмотрено как автоматическое формирование матриц внутренней упругой податливости расчётных участков ОСМС, так и ввод их как заранее составленных «вручную». Здесь рассмотрим второй способ:

– матрицы податливости при изгибе:

– матрица податливости затяжки при растяжении-сжатии:

– матрица податливости упругой опоры:

Для расчёта на температурное воздействие формируются матрицы L_t , T , B_t . Расчётные участки при температурном воздействии назначаются по правилам, приведенным на с. 28. В рассматриваемой системе границы участков совпадают с концами элементов с разными температурными режимами – это левая, правая стойки и затяжка ( рис. 3.15 ). Поскольку все участки име-ют постоянные по длине высоты сечений, коэффициенты ЛТР материала и приращения температур, то на каждом из них назначается по одному расчётному сечению – посредине.

мерная составляющая приращения температуры t _nr ; «N, t ₀ » указывают на единич-

ные продольные силы и равномерную составляющую приращения температуры t ₀.

П р и м е ч а н и е: индексы «М, t _nr » у номера участка означают, что в расчетном сечении участка описываются единичные изгибающие моменты и

Матрица L_t имеет три столбца – по числу основных неизвестных X. По вертикали матрица состоит из двух блоков, в первом из которых содержатся значения изгибающих моментов, а во втором – продольных сил в расчётных ( средних ) сечениях участков в единичных состояниях ОСМС. Правила знаков усилий в матрице L_t – те же, что при формировании матрицы .

Матрица расчётных приращений температур содержит четыре ( по числу заданных воздействий ) столбца. По вертикали матрица, как и L_t , имеет два блока – неравномерных T_nr и средних T₀ ( равномерных составляющих ) приращений температур на участках. В решаемой задаче, где изменение температуры задано только в третьем варианте воздействий ( f = 3 ), данные о тепловом режиме элементов системы заносятся в третий столбец матрицы Т. Знаки и числовые значения компонентов блоков T_nr и T₀ берутся из схемы ( см. рис. 3.10 ), где для каждого участка приведены t_nr и t₀ . Первый, второй и четвертый столбцы матрицы Т – нулевые, так как в вариантах воздействий с соответствующими номерами отсутствуют изменения температуры.

Матрица B_t температурной податливости расчётных участков ОСМС – блочная диагональная: B_t = diag [ B_{t, nr} B_t0 ], где блок B_{t, nr} формируется из матриц податливости участков при температурных искривлениях (  – общий для всей системы ):

а в блок B_t0 входят матрицы податливости участков при температурных удлинениях / укорочениях:

Компонентами матрицы R_ являются реакции по направлениям заданных смещений опорных связей в единичных состояниях. Столбцов в матрице три – по числу основных неизвестных X, а строк столько, сколько заданных смещений, т.е. тоже три.

третий смещения опор отсутствуют.

Матрица _c имеет четыре столбца ( по числу вариантов воздействий ). Строк в ней три, как и в матрице R_. Её компоненты – заданные смещения опорных связей. Первые три столбца матрицы – нулевые, так как в вариантах воздействий с первого по

46

Если матрицы упругой податливости участков ( B_{M, j} , B_{N, 6} и B_{c, 7} ) использовать в исходных данных для компьютера без умножения их компонентов на 1/(EI), т.е. фактически осуществлять расчёт по варианту записи канонических уравнений, полученному на с. 66 путём исключения из матрицы  ( коэффициентов ) параметра EI, то в той части исходных данных, которая относится к температурным и кинематическим воздействиям, параметр EI должен быть учтён как множитель. Удобно на EI ( обычно достаточно большое число ) умножать компоненты мат-рицы температурной податливости B_t и матрицы заданных смещений связей _c .

В рассматриваемой задаче при EI = имеем

= diag [ 3,2 3,2 0,96 1,92 0,96 ]; последний столбец матрицы _c , умноженный на EI: [ 200 100 400 ]^т .

Далее приведены все исходные матрицы: