3.3.2. Основная система при заданных силовых, температурных и кинематических воздействиях. Определение и проверка свободных членов уравнений

Для нахождения свободных членов канонических уравнений рассматриваются состояния основной системы, соответствующие каждому из четырёх вариантов заданных воздействий. Так как основная система – статически определимая, то усилия в ней возникают только от силовых воздействий ( нагрузок ).

На рис. 3.8, а, в изображена основная система в двух «грузовых» состояниях – от нагрузок 1‑го ( f = 1 ) и 2‑го ( f = 2 ) вариантов заданных воздействий ( постоянной и первой временной нагрузок ). На рис. 3.8, б, г – соответствующие эпюры изгибающих моментов.

Перемещения в ОСМС по направлениям удаленных лишних связей от силовых воздействий двух первых вариантов ( f = 1, 2 ) определяем также методом Максвелла – Мора – по фор­муле, получаемой как частный случай ( 1.14 ) при учёте тех же видов деформаций элементов рамы, что и в выполненных выше вычислениях единичных перемещений:

i = 1, 2, 3; f = 1, 2.

Перемещения _{iF, 1} ( i = 1, 2, 3 ) в ОСМС по направлениям ос-новных неизвестных Х_i в случае постоянной нагрузки можно ис-

толковать по схеме деформаций, показанной на рис. 3.9:

q = 10 кН/м

_{1F, 1} = _{F, 1} – _{F, 1} ;

_{F, 1}

 _{F, 1}

_{2F, 1} = _{F, 1} + _{F, 1} ;

_{F, 1}

_{F, 1}

_{3F, 1} = _{F, 1} + _{F, 1} .

Проверка правиль-

н ости вычисленных «гру-

з

f = 1

(const)

_{F, 1}

овых» перемещений вы-

п

_{F, 1}

олняется по условию

( 1.23 ), которое для рас-

с читываемой рамы в слу-

ч

Рис. 3.9

ае силового воздействия

требует определения об-

общённого ( суммарного ) перемещения _{sF, 1} по формуле

Сопоставляем полученный результат с суммой ранее найденных свободных членов канонических уравнений

Аналогично определяются свободные члены КУМС для случая первой временной нагрузки, и выполняется их проверка:

Проверка:

Далее рассмотрим третий вариант заданных воздействий ( f = 3 ) – изменение температуры на t внутри левого нижнего контура, образованного элементами рамы ( рис. 3.3 ). Температур-ные перемещения _it ( i = 1, 2, 3 ) в основной системе МС, т.е. сво-бодные члены канонических уравнений, определяем по формуле Максвелла – Мора ( 1.14 ) для плоской системы в случае теплового воздействия:

г

де для j-го участка постоянного сечения с неизменным по длине тепловым режимом нестеснённые температурные деформации ( кривизна оси и относительная продольная линейная дефор-мация ) находятся как

тогда

где – площади эпюр M_i и N_i на j-ом участке.

На рис. 3.10 представлены расчётные данные о температурном режиме элементов рамы. Приращения температур t₁ описываются на нижних волокнах горизонтальных стержней и на правых волокнах вертикальных элементов, а t₂ – соответственно на верхних и левых. При вычислении составляющих приращений температуры элемента ( равномерной^*) t₀ и неравномерной t_nr ) по формулам, воспроизведённым на рис. 3.10, обязательно учитываются знаки t₁ и t₂ .

Кривизна оси левой стойки:

_{t, l} = (0,3 м) = м ^–1 ;

д ля правой стойки _{t, r} =

= – _{t, l} = – м ^–1.

Кривизну оси затяж-

ки, не работающей на из-

гиб, можно не определять.

Относительные про-

дольные температурные

деформации стоек и за-

т

.

яжки: _{0t, l} = _{0t, r} = _{0t, z} =

=

^*) В случае симметричного сечения _t0 – среднее приращение температуры.

=

Перемещения _it ( i = 1, 2, 3 ) в ОСМС по направлениям основных неизвестных Х_i в случае изменения температуры можно истолковать по схеме деформаций, показанной на рис. 3.11:

_1t = _t + _t ; _2t = – _t – _t ; _3t = _t + _t .

Для удобства вычисления интегралов в выражении перемещений _it строим эпюры _t и _0t ( рис. 3.12 ), причём при построении эпюры _t используем аналогию с эпюрой изгибающих моментов: знаки не проставляются, а ординаты откладываются со стороны более «тёплых» волокон элемента ( с алгебраически большим при­ращением температуры t₁ или t₂ ), т.е. со стороны выпуклости стержня, искривлённого тепловым воздействием. На эпюре _0t знаки указываются, подобно эпюре продольных сил.

Рис.3.12

Легко заметить, что в рассматриваемой задаче все температурные деформации прямо пропорциональны коэффициенту ЛТР материала  , поэтому ординаты эпюр _t и _0t можно было бы находить с точностью до общего множителя  .

Выполняя «перемножение» единичных эпюр M_i и N_i соответственно с эпюрами _t и _0t , находим температурные перемещения:

= 0

= 0

Универсальная проверка найденных перемещений ( свобод-ных членов канонических уравнений в случае температурного воздействия ) выполняется также с использованием суммарных единичных силовых факторов ( см. рис. 3.7 ) – моментов M_s и про-дольной силы в затяжке N_{z, s} = 1/4, при этом в левой и правой стойках N_{l, s} = N_{r, s} = 0:

условие выполняется.

В последнем варианте воздействий ( f = 4 ) с заданными смещениями опор из расчётной схемы ОСМС ( рис. 3.12 ) берут- ся без каких-либо дополнительных вычислений только значения

компонентов смещений опорных связей. Нужно лишь следить за

_1c = –_c – _c

_2c = _c – _c

_3c = _c + _c

Рис. 3.12

тем, чтобы линейные перемещения были описаны в тех же единицах измерения, которые использовались для размеров рамы в расчёте реакций смещаемых связей в единичных состояниях ( см. рис. 3.4 ), т.е. в метрах.

Обратим внимание на то, что в статически определимой основной системе перемещения, вызванные смещениями опор, не сопровождаются деформациями элементов.

Свободные члены КУМС при кинематическом воздействии – перемещения в ОСМС – определяются также методом Макс-велла – Мора:

.

Значения реакций R_{(j), i} по направлениям заданных смещений связей приведены на схемах единичных состояний ( рис. 3.4 ).

а)

б)

в)

г)

Заметим, что на напряжённо-деформированное состояние рассматриваемой СНС с шарнирными опорами могут оказывать влияние только линейные смещения опорных связей. Повороты основания

( «земли» ) не будут сказываться ни на

п

M₁

еремещениях, ни на усилиях в раме

( рис. 3.13, а ). Но при наличии опорных

з

_c

_c

ащемлений угловые смещения осно-

в

R_{(4), i}

ания ( рис. 3.13, б ) должны учитывать-

ся в расчёте. Например, если бы шар-

н

Рис. 3.13

ир левой стойки рамы был располо-

положен выше опоры ( рис. 3.13, в ), то

угол поворота _c следовало бы рассматривать как 4-й компонент ₍₄₎ заданных смещений связей и соответственно в единичных состояниях ОСМС определять опорный момент R_{(4), i} ( рис. 3.13, в ). При выбранных ранее основных неизвестных фрагмент эпюры изгибающих моментов от X₁ = 1 имеет вид, показанный на рис.3.13, г, тогда R_{(4), 1} = = a/(h – a), где h – высота стойки. В остальных единичных состояниях R_{(4), 2} = R_{(4), 3} = 0. Найденную реакцию R_{(4), 1} нужно умножить на ₍₄₎ и результат учесть при вычислении _1c.

Для проверки найденных _ic используются суммарные реакции R_{(j), s} ( вычисляемые, как и изгибающие моменты M_s , также независимо от ранее найденных R_{(j), i} ) – см. рис. 3.7, из которого R_{(1), s} = R_{(3), s} = 0; R_{(2), s} = 1/4.

условие выполняется.

Используя вычисленные и проверенные коэффициенты и свободные члены, формируем систему канонических уравнений, обращая внимание на то, что все единичные перемещения и перемещения от заданных силовых воздействий ( в первых двух вариантах, f = 1, 2 ) определены с точностью до множителя 1/(EI). Величина EI – общий параметр ( масштабная единица измерения жёсткостей, EI = C₀ ), который при записи уравнений в матричной форме может быть вынесен из соответствующих матриц:

После умножения на EI получаем систему КУМС в виде

Очевидно, что определение основных неизвестных в первых двух вариантах воздействий ( силовых ) не требует знания числового значения параметра EI, но для вычисления реакций лишних связей и, следовательно, всех искомых усилий в рассчитываемой СНС от тепловых и кинематических воздействий необходимо использовать EI в числовом выражении. Умножив компоненты последних двух столбцов матрицы L_ свободных членов на EI = ( см. п. 3.1 ), получаем: