3.3. Канонические уравнения метода сил. Определение и проверка коэффициентов и свободных членов

Для выбранной основной системы канонические уравнения метода сил имеют следующий вид:

или в матричной форме:

– вариант 1 – распределенная ( постоянная ) нагрузка q ( const ),

от англ.

temporary –

временный

– вариант 2 – две сосредоточенные силы F ( temp. 1),

– вариант 3 – изменение температуры t ( temp. 2 ),

– вариант 4 – смещения опорных связей _(j) (temp. 3 ).

3.3.1. Единичные состояния основной системы. Определение и проверка коэффициентов кумс

На рис. 3.4 представлены схемы единичных состояний основной системы ( от единичных основных неизвестных X₁ = 1, …, X₃ = 1 ) и соответствующие им эпюры изгибающих мо-ментов ( k = 1, 2, 3 – номера единичных состояний). Значения про-дольного усилия в затяжке и реакции упругоподатливой опоры даны на схемах рядом с указанными элементами. Обозначены также продольные силы в стойках, необходимые в расчёте на температурное воздействие, и реакции опор по направлениям заданных смещений связей^*). Размерность реакций и продольных сил от безразмерных моментов X_i = 1 – [ длина ^–1 ].

Для определения силовых факторов в статически определимой основной системе как составной раме, имеющей главную и второстепенные части ( рис. 3.2, в ), используются приёмы расчёта, рассмотренные в 1-й части курса строительной механики. Например, в первом единичном состоянии ( рис. 3.4, а ) сначала из условия равновесия левой стойки находится горизонтальная реакция R_{(2), 1} ; затем рассматривается часть рамы левее шарнира Р (ВЧ1 + ВЧ2), и из уравнения m_P = 0 определяется R_{(1), 1} ; наконец, уравнение m_O = 0, записанное для системы в целом, поз-воляет найти R_{1, 1} . Заметим, что реакция правой опоры в последующих расчётах фигурирует в двух качествах – как реакция R_{1, i} упругой связи и как реакция R_{(3), i} связи, по направлению которой имеется заданное смещение ₍₃₎. Продольная сила в затяжке оты-скивается из условия равновесияm_K = 0 левой части рамы, отделённой сечением I – I. Далее все внутренние силовые факторы определяются обычным порядком, даже без вычисления реакций средней опоры O, показанных на рис. 3.4 пунктирными линиями. Силовые факторы во 2-м и 3-м единичных состояниях могут отыскиваться по тому же самому алгоритму. Но имеет смысл обратить внимание на то, что во 2-м состоянии самоуравновешенное воздействие ( два противоположно направленных момента X₂ = 1 ) приложено к одному диску – шарнирному треу-гольнику DKP и за его пределами никаких усилий не вызывает.

^{* )} На схеме подлежащие определению реакции R_{(j), i} смещаемых связей показы-

ваются как положительные (т.е. действующие в ту же сторону, что и соответ-

связей R_{j, i} может быть любым.

ствующие смещения _(j) – см. рис. 3.4). Правило знаков для реакций упругих

R_{1, 3} = – R_{(3), 3} = 0,25

Х₃ = 1

N_{z, 3} = 1/6

k = 3

R_{(2), 3} = 0

R_{(1), 3} = – 1/8

M₃

1

R_{1, 2} = – R_{(3), 2} = 0

Х₂ = 1

R_{(1), 2} = 0

R_{(2), 2} = 0

N_{z, 2} = – 1/3

k = 2

M₂

1

M₁

1

1

1

R_{1, 1} = – R_{(3), 1} = – 0,25

Х₁ = 1

R_{(1), 1} = 1/8

R_{(2), 1} = 1/4

N_{z, 1} = 5/12

k = 1

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Р

O

I

I

K

( > 0 )

( > 0 )

( > 0 )

Р

K

D

Примечание: реакции опор

и продольные силы – в м ^–1.

1

а)

б)

R_{j, i}

Замечание: при наличии в системе

узлов с нежёсткими ( упругими ) угловыми

с

Рис. 3.5

вязями ( рис. 3.5, а ) учитываются их реак-

ции – моменты R_{j, i} от X_i = 1 ( рис. 3.5, б ).

Х₂ = 1

Коэффициенты при основных неизвестных в канонических уравнениях являются по своей сути перемещениями в ОСМС по направлениям удалённых лишних связей в единичных состояниях – их смысл иллюстрируется схемами деформаций основной системы, показанными на рис. 3.6.

б)

₂

₂

а)

₁

₂

₂

₁

₁

Х₁ = 1

₁

k = 2

₂ = 0

₂

k = 1

₁

₁

₁₂ = ₂ – ₂

₂₂ = ₂ + ₂

₃₂ = ₂

₁₁ = ₁ + ₁

₂₁ = ₁ – ₁

₃₁ = ₁ + ₁

в)

Х₃ = 1

 ₃

₃

₃

₃

₁₃ = ₃ – ₃

₂₃ = ₃ – ₃

₃₃ = ₃ + ₃

₃

₃

k = 3

Рис. 3.6

Единичные перемещения _ik определяются по формуле ( 1.13 ) метода Максвелла – Мора с учётом в рассматриваемой задаче деформаций изгиба стержней рамы, растяжения /сжатия затяжки и податливости упругой опоры:

( далее для краткости вместо M_i (x_j) и M_k (x_j) используются обозначения M_i и M_k ).

Для вычисления интегралов применяется формула Симпсона или правило Верещагина ( последнее удобно на участках с простейшими – прямоугольными или треугольными – эпюрами,

как во всех единичных состояниях на рис. 3.4 ):

Для контроля правильности вычисления коэффициентов _ik производится их универсальная проверка с использованием суммарных единичных силовых факторов в основной системе ( от одновременного действия всех единичных основных неизвестных X₁ = X₂ = X₃ = 1), по условию (1.21). Суммарное единичное со-стояние основной системы показано на рис. 3.7, а, а суммарная единичная эпюра изгибающих моментов M_s – на рис. 3.7, б.

Рис. 3.7

D

При этом суммарная единичная продольная сила в затяжке N_{z, s} = 1/4, а суммарная единичная реакция упругой связи R_{1, s} = 0.

Особо отметим, что моменты M_s , а также суммарные единичные реакции опор и продольные силы следует определять независимо от ранее найденных M₁ , M₂ , M₃ и соответствующих реакций и продольных сил – это позволяет избежать переноса в M_s и другие суммарные силовые факторы возможных не выявленных ошибок предыдущих расчётов. После этого для дополнительного контроля можно проверить выполнение условия M_s = M₁ + M₂ + M₃ и аналогично – для реакций и продольных сил.

Находим обобщённое ( групповое ) сум­марное единичное перемещение _ss по направлениям всех удалённых угловых связей – сумму взаимных углов поворота сечений у шарниров в узлах D, K и Р: _ss = _s + _s + _s + _s + _s + _s ( рис. 3.7, а ). Вычисляем _ss по формуле, получаемой из ( 1.21 ) удержанием тех же членов, что и в расчёте коэффициентов _ik :

Полученный результат должен совпасть с суммой всех коэффициентов КУМC: