Алгоритм метода потенциалов:

1). Построение первоначального опорного плана.

2). Определение потенциалов пунктов отправления (u_i) и пунктов назначения ( ).

Потенциалы находят из системы уравнений где C_ij - тарифы, стоящие в заполняемых клетках таблицы. Число переменных в этой системе равно m+n, число уравнений m+n-1. Для нахождения решения системы один из потенциалов приравнивается произвольному числу (например, u₁=0) и последовательно находятся значения всех остальных потенциалов.

3). Проверка оптимальности плана.

Проверяем условия оптимальности: для всех свободных клеток. Вычисляем - оценки свободных переменных для оптимального базиса. Если все , то получаемый план является оптимальным, иначе - к шагу 4.

4). Выбор переменной для включения в базис (выбор клетки, в которую необходимо послать переменную).

. Если таких клеток несколько, то для заполнения выбирается клетка, имеющая минимальный тариф.

5). Построение цикла пересчета для выбранной свободной клетки i₀j₀.

Циклом в таблице условий ТЗ называется ломаная линия, которая начинается в свободной клетке, и вершины которой (кроме начальной) расположены в занятых клетках, а звенья параллельны строкам и столбцам. При правильном построении опорного плана для каждой свободной клетки таблицы можно построить только один цикл.

После построения цикла его вершины последовательно отмечаются знаками «+» и «-», причем свободной клетке приписывается знак «+».

6). Определение величины перераспределения груза.

, где x_ij - перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченных знаком «-». Клетку, которой соответствует d, обозначим через i₁j₁.

7). Сдвиг по циклу пересчета (перераспределение грузов).

В выбранную для заполнения свободную клетку (i₀,j₀) заносится значение d. Одновременно это число прибавляется к значениям перевозок, стоящих в клетках со знаком «+», и вычитается из значений перевозок, стоящих в клетках со знаком «-». Т.о. клетка (i₀,j₀) становится занятой, а i₁j₁ - свободной.

Замечание: при сдвиге по циклу пересчета число занятых клеток остается const=n+m-1. Если d соответствует нескольким клеткам таблицы, то освобождают одну из них, а в остальные записываются нулевые перевозки и считают их занятыми. Нулевые перевозки записываются и в клетки, которые имеют меньшие тарифы.

8). Переход к шагу 2.

Пример. На 3-х складах сосредоточен однородный груз в количествах 80, 100, и 70 единиц. Данный груз необходимо доставить 4-м потребителям, потребности которых равны соответственно 80, 50, 50, 70 единиц. Матрица тарифов имеет вид:

. Необходимо определить: оптимальный план перевозок.

Составим таблицу транспортной задачи. Начальный план перевозок определим методом минимального элемента. При этом сначала помещаем 70 единиц груза в клетку с индексом 14, имеющую минимальный тариф, затем 10 единиц в клетку 12, 40 единиц в клетку 32, 30 единиц в клетку 38, 50 единиц в клетку 23, 50 единиц в клетку с индексом 21.

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	4	2	3	1	80
		10		70
A2	6	3	5	6	100
	50		50
A3	3	2	6	3	70
	30	40
Потребности	80	50	50	70

Затем определяем потенциалы пунктов отправления и потенциалы пунктов назначения. Для этого составляем уравнения для занятых клеток таблицы:

U₁ +V₂ = 2

U₁ +V₄ = 1

U₂ +V₁ = 6

U₂ +V₃ = 5

U₃ +V₁ = 3

U₃ +V₂ = 2

положим U₁ = 0 и последовательно найдем значения остальных потенциалов.

Получим: U₁ = 0, U₂ = 3, U₃ = 0, V₁ = 3, V₂ = 2, V₃ = 2, V₄ = 1.

Вычислим оценки _ij для всех свободных клеток таблицы:

₁₁ = 0 + 3 – 4 = -1

₁₃ = 0 + 2 – 3 = -1

₂₂ = 3 + 2 – 3 = 2

₂₄ = 3 + 1 – 6 = -2

₃₃ = 0 + 2 – 6 = -4

₃₄ = 0 + 1 – 3 = -2

Выбираем максимальную положительную оценку. Это оценка ₂₂ = 2. Следовательно, на следующем шаге будет заполнятся клетка с индексом 22. Составим цикл пересчета для данной клетки и пометим его вершины последовательно знаками «+» и «–»:

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	4	2	3	1	80
		10		70
A2
	3	5	6	100
	50		50
	3	2	6	3
	30	40

Потребности80505070

Определим величину перераспределения груза как минимальную из величин, стоящих в минусовых клетках. Это 40 единиц. Прибавляем данную величину к величинам перевозок, стоящим в клетках со знаком + и вычитаем ее из величин перевозок, стоящих в клетках со знаком – :

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	4	2	3	1	80
				70
A2	6	3	5	6	100
	10	40	50
A3	3	2	6	3	70
	70
Потребности	80	50	50	70

Составляем систему уравнений для определения потенциалов и последовательно находим из нее значения всех потенциалов.

U₁ +V₂ = 2

U₁ +V₄ = 1

U₂ +V₁ = 6

U₂ +V₂ = 3

U₂ +V₃ = 5

U₃ +V₁ = 3

Тогда,

U₁ = 0, U₂ = 1, U₃ = -2, V₁ = 5, V₂ = 2, V₃ = 4, V₄ = 1.

Пересчитываем оценки:

₁₁ = 0 + 5 – 4 = 1

₁₃ = 0 – 2 + 3 = 1

₂₄ = 1 + 1 – 6 = - 4

₃₂ = -2 + 2 – 2 = -2

₃₃ = -2 + 4 – 6 = -4

₃₄ = -2 + 1 – 3 = -4

Имеем две максимальные положительные оценки ₁₁ = ₁₃ = 1. Для заполнения на следующем шаге целесообразно выбрать клетку с индексом 13, т.к. ей соответствует меньший тариф. Строим цикл пересчета для клетки 13:

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1
	2	3	1	80
		10		70
	6	3	5	6
	10	40	50
	3	2	6	3
	70

80505070

Величина перераспределения груза равна 10. Перераспределяем груз:

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	4	2	3	1	80
			10	70
A2	6	3	5	6	100
	10	50	40
A3	3	2	6	3	70
	70
	80	50	50	70

Находим потенциалы пунктов отправления и назначения:

U₁ +V₃ = 3

U₁ +V₄ = 1

U₂ +V₁ = 6

U₂ +V₂ = 3

U₂ +V₃ = 5

U₃ +V₁ = 3

U₁ = 0, U₂ = 2, U₃ = -1, V₁ = 4, V₂ = 1, V₃ = 3, V₄ = 1.

Пересчитываем оценки:

₁₁ = 0 + 4 – 4 = 0

₁₂ = 0 + 1 – 2 = -1

₂₄ = 2 + 1 – 6 = -3

₃₂ = -1 + 1 – 2 = -2

₃₃ = -1 + 3 – 6 = -4

₃₄ = -1 + 1 – 3 = -3

Все оценки неотрицательны. Следовательно, полученный план перевозок является оптимальным.

ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задачей целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) называется задача линейного программирования, в которой на переменные наложено требование целочисленности. При этом если все переменные задачи должны принимать целочисленные значения, задача называется полностью целочисленной, иначе – частично целочисленной. Если множество допустимых решений задачи является конечным, то задача называется комбинаторной. В-частности, к классу комбинаторных относятся задачи булевой оптимизации, в которых переменные могут принимать только два значения: 0 или 1.

Прикладные задачи целочисленного программирования

Задача о раскрое.

Для изготовления заготовок D₁,…,D_m имеется n способов раскроя материала A₁,…,A_n. -количество заготовок i-го типа, получаемых из единицы материала при способе A_j. Имеется D единиц материала. При раскрое единицы материала по способу A_j имеются отходы площадью . Надо произвести не менее заготовок i-го типа и выполнить план с минимизацией отходов.

Таблица 11

Виды заготовок	Способы раскроя				План производства
	A1	A2	…	An
D1 D2 … Dm	A11 a21 ... am1	a12 a22 ... am2	... ... ... ...	a1n a2 n ... amn	b1 b2 ... bm
Отходы	C1	c2	…	cn

Пусть - количество единиц материала, раскраиваемого по j-му способу.

Математическая модель задачи запишется следующим образом:

;

.

Задача о ранце. Имеются предметы n видов, для каждого предмета j-го вида (j=1,n) известны его объем и стоимость . Необходимо определить такой набор предметов, суммарный объем которых не превышал бы заданного числа b, а суммарная ценность была бы максимальной. Эта задача интерпретируется как задача загрузки ранца объема b и называется одномерной задачей о ранце.

Введем целочисленные переменные , значения которых характеризует количество предметов j-го вида, помещенных в ранец. Тогда математическая модель данной задачи имеет вид:

Если ограничениями могут быть не только объем ранца, но и другие его характеристики , то получим многомерную задачу о ранце.

В случае, если количество предметов j-го вида ограничено и равно , к задаче добавляется ограничение . Если =1, то получим задачу о ранце с булевыми переменными. Тогда , причем , если j-й предмет помещен в ранец, в противном случае.

К задаче о ранце сводится широкий класс задач дискретной оптимизации с ограниченными ресурсами.

Пример 8. Для оценки работоспособности систем перед их эксплуатацией производится проверка их функционирования. При проверке контролируются отдельные параметры системы, каждый из которых характеризуется вероятностью отказа проверяемых элементов и временем контроля . Так как допустимое время контроля всей системы T ограничено, то для проверки необходимо выбрать параметры, контролирующие наиболее ненадежные элементы и требующие для контроля наименьшего времени.

Пусть n – общее количество параметров. Введем альтернативные булевы переменные:

Тогда математическую модель задачи можно сформулировать как одномерную задачу о ранце: