Квадратные уравнения

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

ах² + вх + с = 0, где а, в, с – числа, а ¹ 0

Д = в² - 4ас

Д – дискриминант квадратного уравнения

1. Если Д > 0, то уравнения имеет два различных действительных корня , которые находятся по формулам:

2. Если Д = 0, то уравнение имеет два равных действительных корня

3. Если Д < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Примеры

Решите уравнения:

1. 2х² - 5х – 3 = 0

а = 2; в = -5; с = - 3

Д= (-5)² - 4 •2(-3) = 25 + 24 = 49 > 0 – 2 корня

Ответ: х = 3; х =

2. 3х² + 2х + 6 = 0

Д = 4 – 4 • 3 •6 = 4 – 72 = - 68 < 0 – корней нет

Примеры решения неполных квадратных уравнений

1. 5х² - 4х = 0

х (5х – 4) = 0

х = 0 или 5х – 4 = 0

5х = 4

х =

Ответ: х = 0; х =

2. 9х² - 2 = 0

I способ: 9х² = 2

х² =

II способ: 9х² - 2 = (3х - ) • (3х + )

(3х - ) (3х + ) = 0

Имеем 3х - = 0 или 3х + = 0

Ответ: ;

Квадратные неравенства Примеры решения квадратных неравенств графическим методом

1. Решить неравенство:

2х² - 5х – 3 > 0

Находим корни квадратного трехчлена: 2х² - 5х – 3 = 0

;

Так как коэффициент при х² равен 2, т. е. а = 2 > 0, то ветви параболы направлены вверх.

у

х

По условию неравенства нас интересуют точки параболы, расположенные выше оси Ох. Это условие выполняется при х (- ; ) (3; )

Ответ: х (- ; ) (3; )

2. Решить неравенство:

49 - х² 0

Найдем корни квадратного трехчлена:

49 - х² = 0

х² = 49

;

Так как а = - 1 < 0, то ветви параболы направлены вниз.Нас интересуют точки параболы, расположенные выше оси Ох. Это условие выполняется при х [- 7; 7]

х

- 7 0 7

Ответ: х [- 7; 7]

Иррациональные уравнения

Определение: Уравнение называется иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня. При решении иррациональных уравнений мы используем тождество , формулу сокращённого умножения и определение арифметического корня n – ой степени.

Пример:

Решить уравнение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Получим уравнение: 2х² +5х –3 = х² + 2х + 1

Оно равносильно уравнению:

2х² +5х – х² - 2х – 1 – 3 = 0

х² + 3х – 4 = 0

а = 1; в = 3; с = - 4

Д = 3² - 4 · 1(-4) = 9+16 = 25 > 0 2-корня

Выполним проверку, подставляя полученные значения в исходное уравнение:

х = 1 => => - верно

х = - 4 => => - неверно

Ответ: х=1