Лекция 11

Методы решения систем алгебраических уравнений.

,



, j=1,2,…N_x; k=1,2,…N_y

- система линейных уравнений

В трехмерном случае

5 диагоналей

Пример. , u(0)=0, u(1)=0

1)

,

- бесконечное число собственных значений.

2) - разностная система





(по теореме Виета)  



; , k=1,…,N

, , , k=1,…,N

,



- конечное число собственных значений

спектр собственных значений разностного оператора.



- система алгебраических уравнений

- норма матрицы А



 

относительная погрешность

- число обусловленности матрицы А

Свойства: 1) ,

2) ,

3) Доказательство:

!

- относительная погрешность, где - точность одного вычисления.

Real:

Double:

- относительная погрешность численного решения системы уравнений.

 

погрешность аппроксимационных вычислений

Real:

Double:

Прямые методы решения линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса).

а) 2-х мерная задача.

Матрица блочной структуры

- уравнение каждого блока.

Оценим необходимые ресурсы компьютера для решения системы методом блочной прогонки:

1) Память:

число блоков в матрице A - N, в каждом блоке - элементов 

2) Число операций:

нахождение обратной матрицы размером

б) 3-х мерная задача.

- память

- операции.

, j=1,2,…N; k=1,2,…N

- cистема алгебраических уравнений

- итерационная процедура.

 при

Здесь B – переобуславливатель, - ускоритель итерационного процесса

В – 3-х диагональная матрица

Число необходимых итераций , где спектр собственных значений , m зависит от способа итераций.

1) Метод простой итерации (нужен спектр)

В=Е, 

- погрешность, , ,

коэффициент усиления

- условие сходимости,

Пусть (симметричный оператор).

2) A=LU, где

,

1. Разложение А на L и U единственно

2.Разложение не меняет профиля матрицы

, ,

- память, - операции.

Обратные матрицы для U и L вычисляются проще, чем для всей матрицы А , т.к. они треугольные  реальное использование ресурсов будет меньше за счет меньших коэффициентов .

3) Метод вложенных сечений.

,

В методе используется перенумерация элементов в матрице.

ЛЕКЦИЯ 12

Итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений



,

где - собственные значения оператора А

- вариационная задача для оптимального .



, ,

Определим число итераций:

- конечная погрешность решения



, ,

При :

,

2) ,

Ресурсы компьютера:

- число операций ( итераций,  операций умножения на каждой итерации –

перемножение )

- объем памяти.

3)Вариационный метод нахождения в процедуре итерации

(спектр А не нужен)

, - невязка

, 

: , - принцип минимальных невязок

4) Метод переменных направлений (с переобуславливателем)

Это наиболее эффективный метод.

,

(1)

Перенумеруем элементы :

(2)

(1) 

:



(*)

, - условие сходимости.



, ,