Перевірка правильності побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил

Якщо епюри M_z і Q_y побудовані правильно, то мають виконуватися такі закономірності:

• на ділянці АС епюра M_z зображується параболою назустріч рівномірно-розподіленому навантаженню;

• під моментом М = 25 кНм на епюрі M_z маємо стрибок, який дорівнює цьому моментові: (16 + 9 = 25 кНм = М);

• під силою Р = 20 кН на епюрі Q_y маємо стрибок, який дорівнює цій силі: (9 + 11 = 20 кН = Р);

• на ділянках АО, СЕ, ВЕ згинальний момент M_z зростає зліва направо, тому поперечна сила на цих ділянках має знак (+);

• на ділянці ОС згинальний момент M_z зменшується зліва направо, тому поперечна сила на цій ділянці має знак (–);

• на ділянці АС поперечна сила змінює знак з (+) на (–), тому згинальний момент у перерізі, де Q_y = 0 має найбільше значення M_z1 мах.

Епюри побудовані правильно.

1.3. Визначення небезпечного перерізу балки для виконання проектувального розрахунку на згин за нормальною напругою.

Небезпечний переріз балки у точці Е:

M_z мах = М_Е = 16 кНм.

Допустима напруга МПа.

1.4. Проектувальний розрахунок балки на згин і підбір перерізів балки у 3-х варіантах.

Необхідний момент опору небезпечного перерізу мм³ = 100 см³.

Переріз-коло:

М омент опору кола:

,

звідки:

см.

Приймаємо D = 100 мм.

Переріз-прямокутник:

h/b = 2; h = 2b;

Момент опору перерізу відносно осі Х: ; ;

см.

Приймаємо b = 53 мм.

h = 2 · 53 = 106 мм.

Площа перерізу

А_пр = b · h = 53 · 106 = 5620 мм².

П ереріз-двотавр:

Приймаємо двотавр № 16 за ГОСТ 8239-89 (додаток) для якого:

• момент опору W_x = 109 см³;

• площа перерізу A_дв = 20,2 см² = 2010 мм²;

• висота перерізу h = 160 мм;

• ширина перерізу b = 81 мм;

• товщина стінки d = 5,0 мм;

• середня товщина полки t = 7,8 мм;

• момент інерції I_x = 873 см⁴;

• статичний момент напівперерізу

S_{x max} = 62,3 см³.

1.5. Оцінка економічності прийнятих перерізів.

Співвідношення мас отриманих перерізів:

m_дв : m_пр : m_кола = А_дв. : А_пр : А_кола = 2020 : 5620 : 7750.

Якщо прийняти масу двотаврової балки за одиницю, то

m_дв : m_пр : m_кола = 1 : 2,8 : 3,9.

Результати порівняння представимо у вигляді таблиці 7.

Таблиця 7

Порівняння мас отриманих перерізів

Переріз	Площа A, мм2	A / Aдв
Двотавр	2020	1
Прямокутник	5620	2,8
Коло	7750	3,9

Маса двотаврової балки у 2,8 рази менше маси балки прямокутного перерізу і у 3,9 рази менше маси балки круглого перерізу, отже найбільш економічним і раціональним перерізом балки є двотавровий.

1.6. Побудова епюр нормальних і дотичних напруг для небезпечних перерізів двотаврової балки.

Схема двотаврового перерізу балки у довільно обраному масштабі і характерні точки перерізу 1, 2, 3, 4, 5.

Рисунок 2

Нормальні напруги в точках для перерізу, де M_z = 16 кН  м:

МПа;

₃ = 0 — нейтральна вісь Х;

, де у_{4, 5} = h/2 – t = 80 – 7,8 = 72,2 мм;

МПа.

Дотичні напруги в точках двотаврового перерізу, де Q_{у max} = 11 кН.

₁ = ₂ = 0 — на поверхні перерізу;

МПа;

, де = А^полки  y_c;

А^полки = b  t = 81  7,8 = 6318 мм²;

y_c = 80 – 3,9 = 76,1 мм;

= 6318  76,1 = 48080 мм³;

_{4, 5 (стінка)} МПа;

_{4, 5 (полка)} = МПа.

Епюри нормальних і дотичних напруг у довільному масштабі (рис. 2).

Напруги  і  у точках переваги двотавра №16 представимо у вигляді таблиці 8.

Таблиця 8

Точки перерізу двотавра	Нормальні напруги , МПа	Дотичні напруги , МПа
1, 2 — на поверхні	147	0
3 — нейтральна вісь	0	16
4, 5 — перехід стінки до полки	132	12
4, 5 — перехід полки до стінки	132	0,75

1.7. Повна перевірка міцності перерізу двотаврової балки.

Переріз балки, де одночасно достатньо великі значення згинального моменту і поперечної сили обираємо в точці E:

М_Е = 16 кН.м і Q_Е = 9 кН.

Розрахункова напруга за ІІІ-ю гіпотезою міцності у найбільш небезпечних точках 4 і 5 небезпечного перерізу двотавра №16 , де _{4, 5} — нормальні напруги, _{4, 5} — дотичні напруги у точках 4 і 5 переходу стінки до полки (див. рис. 2 і табл. 8):

= 134 МПа.

134 МПа < [σ] = 160 МПа — недонапруга;

% недонапруги = % = 16,25% > 5%.

Недонапруга перевищує 5%, тому перевіримо менший профіль двотавра за ГОСТ 8239-89 — двотавр № 14, для якого:

h = 140 мм; t = 7,5 мм;

d = 4,9 мм; b = 73мм;

W_x = 81,7 см³; I_x = 572 см⁴.

Нормальні напруги у точках 4 і 5:

Мпа, y_4,5 = 70 – 7,5 = 62,5 мм;

Мпа;

Дотичні напруги у точках 4 і 5:

Мпа, 73 · 7,5 · (70 – 3,75) = 36272 мм³;

Мпа.

Розрахункова напруга _{р ІІІ}:

176 Мпа > 160 Мпа — перенапруга.

% перенапруги = =10% >> 5%

Переріз двотавра не міцний.

Висновок: остаточно приймаємо переріз двотаврової балки № 16, який задовольняє умови міцності.