10. Единственность предела последовательности
Теорема: Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Предположим противное. Пусть
,
,
.
Возьмем
какие-либо непересекающиеся окрестности
По
определению предела, вне окрестности
находится лишь конечное число членов
последовательности
,
т.е. в
может содержаться лишь конечное число
членов последовательности
.
Но если 
предел
последовательности
,
то в должны содержаться все члены
последовательности
,
начиная с некоторого номера – противоречие,
т.е. не может быть двух различных пределов.
•
11. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел
Теорема:
Пусть
,
тогда последовательность
ограничена.
.
или
.
Обозначим
через 
наибольшее из чисел 
.
Тогда 
для любого натурального n
последовательность ограничена.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Сходящаяся последовательность ограничена.
Примечание:
Обратная теорема не имеет места – не всякая ограниченная последовательность имеет предел.
Пример:
Последовательность 
ограничена, но не имеет предела.
12. Бесконечные пределы (последовательности)
Пусть задана последовательность .
Определение:
.
Пример:
.
Пусть задано
,
возьмем 
тогда
будет выполняться неравенство 
.
Т.е предел
.
Определение:
13. Подпоследовательности
Пусть
дана последовательность 
и пусть 
– последовательность возрастающих
натуральных чисел. Положим, 
,
тогда 
– подпоследовательность последовательности
Примеры:
,
полагая 
,
получим подпоследовательность 
,
полагая 
,
получим 
Теорема
(о пределе подпоследовательности):
Последовательность
сходится к
тогда и только тогда, когда любая ее
подпоследовательность 
сходится к
.
(
).
14. Арифметические действия с пределами
Теорема: пусть существуют конечные пределы , тогда:
Докажем 1). По условию теоремы
;
,
пусть 
.
Тогда
•
15. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Определение:
бесконечно малая (б.м.) последовательность,
если
Примеры
бесконечно малых последовательностей:
Определение:
бесконечно
большая (б.б.) последовательность, если
Примеры бесконечно больших последовательностей:
.
Примечание: из определения б.б. последовательности следует, что б.б. последовательность не ограничена, но не всякая неограниченная последовательность является б.б.
Например,
последовательность 
неограниченная, но б.б. не является.
16. Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
Теорема
1:
Если 
б.м. последовательность и
,
то последовательность 
б.б.
Для
обозначим
•
Пример:
б.м.
б.б.
Теорема
2:
Если 
б.б. последовательность, то начиная с
некоторого номера, определена
последовательность 
,
которая является б.м. последовательностью.
б.б.
последовательность (лишь конечное число
членов может быть равно 0). Пусть
номер n*
такой, что
при всех
.
Тогда
выполняется неравенство
т.е.
•