67. Многочлен Тейлора
Пусть для функции известны значения функции и первых производных в точке . Как вычислить приближенное значение в точке , близкой к точке ?
1
шаг: Построим многочлен 
,
имеющий при 
то же значение и те же производные до
порядка
включительно, что и функция
.
2
шаг: Изучим остаток 
.
Теорема:
Пусть даны 
числа 
,
тогда существует единственный многочлен
,
степени не выше
,
удовлетворяющий условиям:
,
,
, 
,
а именно многочлен
. (1)
Действительно, многочлен (1) имеет степень
не выше
(степень может быть меньше
,
если 
).
;
;
;
;
.
Докажем единственность.
Предположим,
что
еще один многочлен с аналогичными
свойствами 
.
Докажем, что
.
Пусть
.
многочлен
степени не выше 
=
const.
и степень 
не выше 
.
постоянная, но 
и
имеет степень не выше 
.
постоянная, 
•
Возьмем
.
Получим
Определение:
это
многочлен Тейлора порядка n
для функции
с центром в точке
.
.
Пример:
Найти 
для функции 
с центром в точке 
.
Имеем 
;
,
;
,
;
,
;
,
;
.
68. Формула Тейлора-Лагранжа
Теорема: Пусть функция определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем и . Пусть имеет во всех внутренних точках этого интервала непрерывную производную порядка. Тогда существует число , лежащее между и такое, что справедлива формула Тейлора-Лагранжа:
,
т.е.,
.
(доказательство
для случая 
см. в разделе 66 «Параболическое
приближение»).
Следствие:
Если 
на рассматриваемом интервале, то 
оценка остаточного члена.
69. Формула Тейлора-Пеано
Остаточный
член 
можно записывать в другой форме. Имеем
это остаточный член в формуле Пеано.
Получаем формулу Тейлора-Пеано:
.
70. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций
.
…, тогда 
или
.
.
.
Если
,
то
.
Если
,
то
Получаем
или
.
.
С учетом того, что для
:
,
а для
,
получаем
или
.
или
.
,
или
.
71. Достаточные условия экстремума (с использованием 2-ой производной)
Теорема:
Пусть
,
тогда если 
,
то
точка локального max,
а если 
,
то
точка локального min.
.
Пусть
,
т.е.,
.
В силу свойства предела 
в некоторой
.
Следовательно,
для
,
для
,
т.е.
точка локального min.
Для max
доказательство аналогично.•
72. Выпуклость кривой
Пусть
функция определена на интервале
.
Возьмем некоторую точку 
.
Проведем в
касательную к графику функции.
Рис. 51 Рис. 52
Если
все точки графика функции на этом
интервале лежат выше касательной
(исключая точку 
,
которая лежит на графике функции), то
функция называется выпуклой вниз на
этом интервале, а если все точки графика
функции лежат ниже касательной (за
исключением точки
),
то функция называется выпуклой вверх
на интервале
.
73. Достаточные условия выпуклости
Теорема:
Пусть функция
определена и дважды дифференцируема
на
.
Тогда, если
на
,
то функция выпукла вверх на
,
и если
на
,
то функция выпукла вниз на
.
Пусть
.
Выберем точку
и воспользуемся представлением дважды
дифференцируемой функции (см. раздел
62):
, где точка лежит между точками и х.
Уравнение
касательной к графику функции
в точке 
имеет вид
.
В
точке
разность значений функции и ординаты
касательной равна
,
то есть знак разности совпадает со
знаком
.
Если
,
то
,
т.е. точки графика функции лежат выше
касательной, функция выпукла вниз (рис.
51).
Если
,
то , т.е. точки графика функции лежат
ниже касательной, функция выпукла вверх
(рис. 52). •