Глава 1: функция. Предел. Непрерывность

1. Действительные числа

Действительным числом называется бесконечная дробь вида , где =0, 1, 2 … m, … - неотрицательное число; = 0, 1, 2 … 9; n=1, 2…; – неотрицательное действительное число.

Если хотя бы одно из чисел , то – положительное действительное число, - – отрицательное действительное число.

Множество действительных чисел обозначается .

Между точками геометрической прямой и действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие. Числу 0 соответствует точка O, единице – точка E:

вектор принят за координатный орт. Таким образом, каждому числу поставлена в соответствие точка с координатой, равной этому числу.

Поэтому множество действительных чисел называют также числовой прямой или числовой осью. Сами действительные числа называются точками числовой прямой.

Расширенное множество действительных чисел – это множество действительных чисел, дополненное двумя элементами: +∞ (плюс бесконечность) и –∞ (минус бесконечность) такими, что по определению считается:

1. если , то –

2. Если , то ;

3. Если , то

Расширенное множество действительных чисел обозначается .

2. Некоторые обозначения

Символ	Разъяснение
	Для любого, для каждого, для всех
	Существует, найдется
	AB: A влечет за собой B, B следует из A
	AB: A следует из B и B следует из A; AB: A равносильно B; A необходимо и достаточно для B; A тогда и только тогда, когда B
	– множество, состоящее из элементов
	состоит из таких элементов , которые обладают свойством
	Элемент принадлежит множеству , соответственно, элемент не принадлежит множеству
	Пустое множество, множество, не содержащее ни одного элемента
	Множество содержится в множестве
	Множество натуральных чисел
	Множество целых чисел
	Множество рациональных чисел
	Множество действительных чисел

3. Промежутки на числовой прямой

Пусть числа

Конечные промежутки

Интервал

Отрезок

Полуинтервалы:

Бесконечные промежутки

Интервалы:

x

Полуинтервалы:

4. Абсолютная величина

Определение: Пусть

Число называется абсолютной величиной или модулем числа

Свойства модуля:

1. 

2. и при

3. 

4. ;

5. ; ;

6. – неравенство треугольника;

7. 

5. -окрестность

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Обозначение:

Определение: Пусть – некоторое число. Множество называется -окрестностью точки .

Геометрически:

^{ }

Если из этого множества удалить точку , то получится множество – проколотая окрестность точки –

Правая -окрестность точки –

Правая проколотая -окрестность точки –

Левая -окрестность точки –

Левая проколотая -окрестность точки –

Пусть , множество называется -окрестностью плюс бесконечности,

а множество – -окрестностью минус бесконечности/