23. Сформулировать и доказать теорему о связи смешанного произведения с объемом параллелепипеда

Найдем по определению смешанное произведение:  , где   — угол между векторами   и  . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади   параллелограмма, построенного на векторах   и  : . Поэтому  . Алгебраическое значение   длины проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  , равно по модулю высоте   параллелепипеда, построенного на векторах   (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему   этого параллелепипеда:

24. Записать условие компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

25. Вывести способ вычисления смешанного произведения в координатах

Покажем, как находится смешанное произведение, если известны координаты умножаемых векторов в прямоугольной системе координат. Пусть   - координатные векторы.

Векторное произведение в координатах имеет вид   а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно сумме произведений соответствующих координат, поэтому,

Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты умножаемых векторов, то есть, .

26. Записать свойства смешанного произведения

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = |a · [b × c]|

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =	1	|a · [b × c]|
	6

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

• a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

• a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

• a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Аналитическая геометрия

1. Доказать теоремы об общем уравнении прямой на плоскости

2. Провести исследование общего уравнения прямой на плоскости

3. Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях

4. Вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, записать параметрические уравнения, вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

5. Как определяют угол между прямыми на плоскости, если они заданы каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом?

6. Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости

7. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

8. Доказать теоремы об общем уравнении плоскости

9. Сформулировать и доказать теорему о взаимном расположении пары плоскостей

10. Провести исследование общего уравнения плоскости

11. Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки

12. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

13. Как вычисляется угол между плоскостями?

14. Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

15. Записать общий вид уравнений прямой в пространстве, получить канонический вид уравнений прямой в пространстве

16. Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве, а также прямой, проходящей через две точки пространства.

17. Как определятся угол между двумя прямыми в пространстве? Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

18. Как определяется угол между прямой и плоскостью? Записать условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости

19. Получить условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Математический анализ

1. Что такое функция, каковы способы ее задания?

2. Что такое чётная и нечетная функции, как строить их графики

3. Что такое периодическая и обратная функции, как строить их графики

4. Изобразить в графиках показательную и логарифмическую функции при a>1, a<1.

5. Что такое гармоническая зависимость, каков вид ёё графика?

6. Изобразить графики y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Что такое элементарная функция. Графики основных элементарных функций

8. Как строить графики вида y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)

9. Что такое числовая последовательность, каковы способы ее задания?

10. Что такое монотонная и ограниченная последовательность?

11. Что называется пределом последовательности? Записать определение того, что данное число не является пределом данной последовательности

12. Сформулировать свойства пределов последовательностей

13. Доказать два основных свойства сходящихся последовательностей

14. Какое из них дает необходимое условие сходимости?

15. Сформулировать теорему, которая дает достаточное условие сходимости последовательности

16. Доказать любое из свойств пределов последовательностей

17. Что такое бесконечно малая (большая) последовательность?

18. Сформулировать свойства бесконечно малых последовательностей

19. Что называется пределом функции?

20. Сформулировать свойства пределов функций

21. Что называется односторонним пределом?

22. Записать первый замечательный предел и вывести его следствие

23. Записать второй замечательный предел и вывести его следствия

24. Какие функции называют бесконечно малой, ограниченной, бесконечно большой?

25. Сформулировать свойства бесконечно малых функций, доказать любое из них

26. Какие понятия вводятся для сравнения бесконечно малых функций, дать их определения

27. Какая функция называется непрерывной в заданной точке?

28. Сформулировать критерий непрерывности и охарактеризовать виды разрывов

29. Что такое производная функции в фиксированной точке?

30. Что называется односторонними производными?

31. Что такое дифференциал функции и как он связан с приращением функции?

32. Физический смысл первой и второй производных

33. Что такое производная функция от функции?

34. Перечислить свойства производных, доказать два из них (u+v)' и (uv)'

35. Записать таблицу производных, доказать любые две формулы

36. Каков геометрический смысл производной и дифференциала?

37. Вывести уравнение касательной и нормали к графику функции

38. Доказать теорему о производной сложной функции

39. Вывести производную обратной функции (привести пример её нахождения)

40. Обосновать теорему об исчислении производных

41. Доказать все теоремы о среднем для дифференцируемых функций

42. Сформулировать и доказать правило Лопиталя

43. Какие функции называются возрастающими и убывающими на интервале?

44. Доказать теоремы о связи производной с возрастанием функции

45. Что такое точки экстремума?

46. Обосновать необходимое условие экстремума

47. Вывести два вида достаточного условия экстремума

48. Как находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

49. Что называется выпуклой и вогнутой функцией?

50. Как исследовать функцию на выпуклость и вогнутость? Что называется точками перегиба?

51. Асимптоты - дать определения, пояснить способы нахождения

52. Вывести формулу нахождения производной (первой и второй) параметрически заданной функции

53. Что такое вектор-функция, её годограф и его механический смысл?

54. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности

55. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при неравномерном движении по окружности

56. Получить производные функции y=e^x, y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx