12. Что такое скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. 

13. Сформулировать условие ортогональности векторов

Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

a · b = 0

14. Доказать свойства скалярного произведения векторов Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

15. Вывести выражение скалярного произведения через координаты

16. Что называется правой тройкой векторов

Тройка векторов  ,   и   называется правой, если поворот от вектора   к вектору  , видимый с конца третьего вектора  , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

17. Что называется векторным произведением векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора cосуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c

18. Сформулировать свойства векторного произведения

Свойства векторного произведения векторов

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = [a × b]

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	|a × b|
	2

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

• a × b = -b × a

• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

• (a + b) × c = a × c + b × c

19. Записать условие коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

20. Вывести выражение векторного произведения через координаты

ТОЛЬКО 1 ФОРМУЛУ

21. Вывести геометрические приложения векторного произведения.

Приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

22. Что такое смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов   называется число  , равное скалярному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Смешанное произведение обозначается  .

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
	cx	cy	cz

Сверху это определитель.