Прямая и обратная задачи кинематики. Восстановление уравнения движения
Прямая задача кинематики заключается в определении скорости по заданной зависимости радиус-вектора или координат от времени, а также в определении ускорения по известной зависимости скорости от времени.
Обратная задача кинематики заключается в определении скорости по заданной зависимости ускорения от времени и в определении радиус-вектора или координат по известной зависимости скорости от времени.
Для восстановления уравнения движения по заданной скорости необходимо знать начальное положение материальной точки.
Пусть задан вектор
скорости материальной точки как функция
времени
Откуда для dr получим
Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t0 до любого текущего t, найдем где r(t0 ) – радиус-вектор точки в начальный момент времени
Для восстановления уравнения движения по заданному ускорению необходимо знать два параметра:
начальное положение материальной точки
и скорость в начальный момент времени
Пусть задан вектор ускорения материальной точки как функция времени
Тогда для dv получим:
Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t0 до любого текущего t, найдем где v(t0) – вектор скорости в начальный момент времени
И для восстановления уравнения движения воспользуемся предыдущим результатом – получим уравнение траектории по заданной скорости
Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инерциальные системы отсчета. Закон инерции
Законы Ньютона лежат в основе динамики классической механики. Первый закон Ньютона - тело движется равномерно и прямолинейно или сохраняет состояние покоя, пока воздействие других тел не изменит это состояние (этот закон также называют законом инерции).
Инерциальная система отсчета – система отсчета, в которой соблюдается первый закон Ньютона. Следует отметить, что инерциальность системы отсчета можно утверждать с определённой степенью точности. Так систему отсчета, связанную с Землей можно считать инерциальной, если можно пренебречь ее вращательным движением относительно собственной оси и относительно Солнца.
Отсюда и принцип относительности Галилея – все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу. И никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя определить движется система или нет.
Рассмотрим
две системы отсчёта: S(x, y, z)
и S’(x’, y’, z’): одна из них
— S(x, y, z) — инерциальная, а
другая — S’(x’, y’, z’) — движется
относительно первой с неизменной
скоростью поступательного движения 
.
Примем для простоты, что в начальный
момент времени они совпадали.
Запишем
движение точки М в этих двух системах,
задав это движение
радиус-векторами 
и 
соответственно
в системе S и S’.
Эти радиус-векторы связаны простым соотношением:
.
Здесь
—
радиус-вектор, определяющий положение
точки О’ системы S’ в системе отсчёта
S.
Понятно, что к моменту времени t:
.
Таким образом,
Это первая формула преобразований Галилея.
Спроецировав эту формулу на координатные оси, запишем это преобразование в скалярной форме:
В классической механике формулы преобразования координат дополняются утверждением, что время в обеих системах отсчёта течёт одинаково:
t = t’.
Таким образом, формулы преобразований предполагают абсолютность длин и времени в нерелятивистской классической механике.
При переходе из одной системы в другую, координаты движущейся точки меняются. Параметры, обладающие таким свойством, называются вариантными. Время в обеих системах отсчёта остаётся одинаковым, то есть время — инвариант.
Будет ли меняться при переходе в новую систему отсчёта скорость движущейся точки М? Для ответа на этот вопрос рассмотрим первую производную радиус-вектора первой формулы и координат точки второй формулы по времени:
,
Формулы
3 и 4 выражают нерелятивистский закон
сложения скоростей. Здесь 
—
скорость частицы М в системе отсчёта
S.
—
скорость в системе отсчёта S’.
— скорость штрихованной системы отсчёта
относительно инерциальной системы S.
Скорость оказывается разной в разных
системах отсчета, т.е. она вариантна.
Дифференцируя 3 формулу ещё раз по времени, получим:
,
здесь последнее слагаемое равно нулю, так как скорость движения системы S’ по условию постоянна. Значит:
.
Этот результат означает, что ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея. Координаты движущейся частицы, её скорость различны в разных системах отсчёта, а ускорение остаётся неизменным при переходе из системы S в систему S’.
Если система S инерциальна, то свободная частица в ней движется без ускорения, то есть, а = 0. Но ускорение такой частицы и в штрихованной системе будет отсутствовать: ведь а’ = а =0! Это означает, что она тоже является инерциальной.
Сила, действующая на частицу в системе S может быть записана так:
.
А в системе штрихованной та же сила должна быть представлена иначе:
. .
Так
как
,
.
(6)
Это уравнение означает, что второй закон Ньютона не меняется при переходе в штрихованную систему отсчёта. То есть, уравнения классической механики Ньютона инвариантны относительно преобразования Галилея.
В этом состоит принцип относительности Галилея, утверждающий, что все три закона динамики справедливы во всех инерциальных системах отсчёта.