Закон сложения скоростей сто
Опять рассмотрим системы отсчёта K и K0 . Пусть точка M движется вдоль общего направления осей X и X0 (рис. ).
Пусть u — скорость точки M в системе K; в системе K0 скорость этой точки пусть будет u0 .
Давайте
вспомним, как выводится соответствующая
формула в классической механике. Берём
первое из равенств
с заменой t0 на t
Переходим к бесконечно малым приращениям координат и времени: dx = dx0 + vdt. Делим обе части на dt:
Остаётся заметить, что
.
(16)
Вот мы и получили классический закон сложения скоростей. Однако данный закон не может быть верным в теории относительности. В самом деле, рассмотрим вместо точки M световой сигнал в вакууме, мчащийся в системе K0 со скоростью u0 = c. Согласно закону (16) получится, что скорость нашего сигнала в системе K будет равна u = c + v. Но это противоречит принципу относительности, в силу которого скорость света в вакууме имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчёта. Возникновение данного противоречия не удивительно: ведь вывод формулы (16) базируется на преобразованиях Галилея, которые в теории относительности уступают место преобразованиям Лоренца. Поэтому правильный закон сложения скоростей нужно выводить теперь из преобразований Лоренца. Идея вывода — та же самая, что и для формулы (16).
Мы исходим из того, что
(17)
В соотношениях (14) переходим к бесконечно малым приращениям координат и времени:
Делим первое из данных равенств на второе:
Разделим числитель и знаменатель правой части на dt0 :
Остаётся учесть соотношения (17) и написать:
(18)
Это и есть релятивистский закон сложения скоростей, который приходит на смену классическому. Теперь уже никакого противоречия не возникает: если скорость сигнала u 0 = c в системе K0 , то в системе K его скорость равна:
как того и требует
принцип относительности. При v<< c
формулы (18), как нетрудно видеть, переходят
в формулы (16). Иными словами, при малых
скоростях движения релятивистский
закон сложения скоростей переходит в
классический закон.
Динамика сто. Основное уравнение релятивистской динамики.
Основное
уравнение динамики движения релятивистской
частицы имеет вид, схожий с основным
уравнением движения классической
динамики
Однако,
при дифференцировании по времени правой
части нужно учесть, что релятивистская
масса не есть постоянная величина.
Отметим, что классическая формулировка
второго закона Ньютона
несправедлива
даже с релятивистской массой.
Уравнения динамики релятивистской частицы нашли блестящее подтверждение уже в 30-х годах нашего века при разработке первых ускорителей электронов, которые были названы бетатронами. На бетатронах электроны ускорялись в переменных электрических полях и приобретали скорость, сравнимую со скоростью света. Тогда то и было обнаружено, что масса частицы и траектория ее движения зависят от скорости в полном соответствии с формулами.
Уравнения релятивистской динамики позволили Эйнштейну найти связь массы и энергии тела. Попробуем вслед за ним найти количественной соотношение между этими величинами. Для этого преобразуем уравнение:
Если
дифференциалы величин равны, то сами
величины могут различаться на постоянную
величину:
Значение этой
константы можно найти из условия, что
при
выражение для
кинетической энергии должно стремиться
к
.
Значение
ее окажется равным
Таким образом,
получаем релятивистское выражение для
кинетической энергии:
Второе слагаемое в этом выражении имеет смысл энергии покоя, внутренней энергии тела, энергии связанной с самим фактом существования тела и наличием у него массы в неподвижном состоянии. Сумма кинетической энергии и энергии покоя называется полной энергией тела. Выражение для полной энергии можно получить из формулы
Мы получили самую известную формулу 20-го века, которая устанавливает количественную связь между энергией и массой. Ее можно трактовать следующим образом. Между полной энергией системы Е и ее массой m существует связь, определяемая формулой (12.10). Энергия при определенных условиях может переходит в массу, а масса - в энергию. Однако, понятие энергии не сводится только к массе и наоборот, масса не сводится только к энергии. Тем самым установлена связь между мерой количества материи - массой и мерой движения материи - энергией. Эта связь является отражением факта, что материя без движения, также, как и движение без материи не существует.