49 Вариант.

Задание 1.

Даны вершины треугольника АВС. Требуется найти:

1. длины сторон АВ и АС, их уравнения и угловые коэффициенты;

2. величину угла А в градусах;

3. уравнение биссектрисы АR угла А;

4. точку пересечения медиан треугольника АВС;

5. уравнение высоты CN и точку N её пересечения со стороной АВ;

6. уравнение прямой l, проходящей через вершину В параллельно стороне АС и её точку пересечения с высотой CN;

7. координаты точки D, симметричной точке С и лежащей на медиане СМ;

8. вычислить площадь четырехугольника АDBC.

А (-1; 6)

В ( 7; -2)

С ( -1;4)

Задание 2.

Даны точки плоскости А, В, С. Требуется:

1. составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности;

2. написать уравнение эллипса, проходящей через точки В и С, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет;

3. построить точки и кривые в системе координат.

А (-1; 6)

В ( 7; -2)

С (-1; 4)

Задание 3.

Решить системы линейных уравнений с помощью определителей.

Задание 4.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задание 5.

Исследовать систему линейных уравнений на совместность и решить ее, если она совместна

Задание 6.

Представить систему линейных уравнений в матричной форме и решить систему с помощью обратной матрицы; пользуясь правилом умножения матриц, показать, что произведение матрицы системы на обратную ей матрицу равно единичной матрице Е.

Задание 7.

Доказать образуют ли вектора (а, в, с) базис. Найти координаты вектора х в этом базисе.

а(-5;-1;1); в(1;0;6); с( 2;7;-2) , х(1;2;-6).

Задание 8.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Требуется:

1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию вектора на вектор ;

A(3;3;-3)

B(7;7;-5)

C(5;14;-13)

D(3;5;-2)

Задание 9.

Даны координаты точек А, В, С.Требуется:

1. Составить канонические уравнения прямой АВ.

2. Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

3. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q.

4. Вычислить расстояние от точки С до прямой АВ.

5. Найти точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ.

A(4;-4;9)

B(8;-2;5)

C(5;-5;5)

Задание 10.

Прямая линия задана в виде пересечения двух плоскостей. Написать канонические уравнения этой прямой.

Задание 11.

Найти пределы функций:

, ; ; ;

б) ; в) ; г)

Задание 12.

Найти производную , пользуясь формулами дифференцирования.

а) б) в)

Задание 13.

В задачах дана функция Z=F(x, у). Найти полный дифференциал dz;

Задание 14.

Найти указанные неопределенные интегралы и вычислить определенные интегралы

а) б) в)

Задание 15.

Найти ООФ и изобразить эту область на плоскости ОХУ: .

Задание 16.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

А) в прямоугольнике[-6;6]x[-4;4];

В) .

Задание 17.

Найти экстремумы функции .

Задание 18.

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

.

Задание 19.

Вычислить , где .

Задание 20.

Переходя к цилиндрическим координатам вычислить

, где область интегрирования V ограничена поверхностями: .

Задание 21.

Вычислить криволинейный интеграл , где

L-прямоугольник ограниченный прямыми .

Задание 22.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Задание 23.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиями:

А)

В) .