2.Векторная алгебра. Векторные поля в n-мерном пространстве

Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n.

При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора, для корректного построения которого в произвольномn-мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоватьсявнешним, а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. Приn=2соответствующая операция принимает видпсевдоскалярного произведения.

Кроме того, в случае произвольного nнужна определенная аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока черезгиперповерхностьразмерности(n — 1).

Длина вектора.

Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение вектора на число.

            Суммой векторов является вектор -

            Произведение - , при этомколлинеарен.

Вектор сонаправлен с вектором(­­ ), если > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором(­ ), если < 0.

Скалярное произведение — векторов а и b, Скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b) (или ab). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.: 1) (а, b) (b, а), 2) (αа, b)…

векторы в пространстве

Скалярным произведением двух ненулевых векторов aиbназывается число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, какab,a·b, (a,b), (a·b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a·b= |a| · |b| · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов

Пусть имеем векторное пространство Vи систему векторов A={} (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Векторназывается линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры α₁= α₂= α₃... = α_k= 0, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

• Определение 1: система векторов A называется линейно-независимой, еслитолькотривиальная линейная комбинация векторов системы равна, (т.е.)

• Определение 2: система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная.

Действия над векторами

Суммой векторовa(a1; a2; a3) и b(b1; b2; b3) называется вектор c (a1+b1; a2+b2; a3+b3).Произведение вектораa(a1; a2; a3) на число λ называется вектор λ a = (λa1; λa2; λa3).Скалярным произведением векторов(a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) называется число a1b1 + a2b2 + a3b3.

Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис ,и относительно него векторыизаданы своими координатами:. Тогда, т. е. при сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты;, т. е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом междудвумявекторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один извектороввокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                   

                                            рис.1.

Обозначение. . Изопределенияследует, что.

представление вектора в координатной форме