III. Контрольные задания

3.1. Контрольная работа «Входная аттестация»

I. Вычислить скалярное произведение векторов.

II. Решить неравенство:

III. Решить уравнение:

IV. Построить график функции:

V. Сколько процентов составляет 2 от:

Вариант 1. 50;

Вариант 2. 25;

Вариант 3. 200;

Вариант 4. 400;

Вариант 5. 125;

Вариант 6. 625;

Вариант 7. 250;

Вариант 8. 40;

Вариант 9. 80;

Вариант 10. 160.

VI. Вычислить предел:

VII. Найти первые производные функции:

3.2. Методические указания по выполнению контрольной работы «Входная аттестация»

Задача I. Вычислить скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле:

Имеем

Задача II. Решить неравенство:

Поскольку , то данное неравенство равносильно неравенству: . Так как функция возрастающая, имеем . Решая неравенство находим , следовательно, промежуток есть множество всех решений исходного неравенства.

Задача III. Решить уравнение:

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим , т.е. .

Сделаем проверку: .

Следовательно, корень уравнения.

Задача IV. Построить график функции: .

График функции можно построить с помощью преобразовании (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

В частности:

График функции получается путём сдвига графика функции вдоль оси на единиц.

Следовательно, график данной функции получается путём сдвига графика функции вдоль оси на 4 единицы влево и вдоль оси на 3 единицы вниз.

Задача V. Сколько процентов составляет 2 от 20.

Найдём отношение данных чисел: и выразим дробь в процентах. Получаем 10%.

Задача VI. Вычислить предел:

Решение:

Имеем = (разделим числитель и знаменатель на старшую степень) =

Задача VI. Найти первую производную функции:

Решение:

Имеем

3.3. Контрольная работа №1

I. Вычислить пределы:

II. Найти первую производную функции:

III. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график:

3.4. Методические указания по выполнению контрольной работы №1.

Задача I.

Вычислим пределы:

Решение:

Задача II.

Найти первую производную функцию

Решение:

Задача III.

Исследовать функцию и построить ее график.

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции .

2. В случае, если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечётной. Затем проверить, не является ли она периодической (в любом случае).

3. Найти нули и промежутки знакопостоянства функции; выяснить поведение функции на концах промежутков знакопостоянства (в том числе и в бесконечности). Найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости (вверх и вниз) графика функции, точки перегиба.

7. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Реализуем указанную схему.

1. .

2. Так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является ни четной, ни нечетной. Кроме того, она не периодична, т.е. особенность в точке не повторяется.

3. Функция обращается в нуль при и не определена при . Полученными точками область определения функции делится на три промежутка: , в каждом из которых она сохраняет определённый знак, а именно:

на имеем , т.к. (например) ;

на имеем , т.к. ;

на имеем , т.к. .

Далее имеем:

Последнее означает, что в точке имеется двухсторонний бесконечный разрыв.

4. Так как в точке функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Отсутствие конечного предела при означает отсутствие горизонтальных асимптот. Для отыскивания асимптот найдём следующие пределы:

Таким образом, прямая служит наклонной асимптотой графика.

4. Дифференцируя данную функцию, получим:

Производная обращается в нуль при и не определена при . Этими точками числовая ось делится на четыре промежутка: . Выясним знак в каждом из них:

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

на имеем , т.к.

В точке функция имеет максимум .

В точке функция имеет минимум .

4. Дифференцирую дважды данную функцию, получим:

На числовой оси укажем интервалы знакопостоянства второй производной и выпуклости функции.

Точек перегиба нет, т.к. - точка разрыва функции .

4. Используя полученные данные, строим график функции.