6. Производная Производная функции

Понятие производной

Пусть функция у = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х₀. Предел отношения приращения у функции в этой точке (если он существует) к приращению х аргумента, когда х  0, называется производной функции

f ( x ) в точке х₀. Т.о.

f ′( х₀) = = .

Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Пример 1. Пользуясь определением, найти производные функций:

у = f ( x ): a) y = 3x² , b) y = sin x.

a) Придадим аргументу х приращение Δх. Тогда соответствующее приращение Δу функции будет иметь вид: Δу = f ( x + Δх ) – f ( x ) = 3(x + Δх)² – 3x² = 3(x² + 2хΔх + (Δх)² – x²) = 3Δх (2х + Δх) => = = 3 (2х + Δх) = 3 ∙ 2x = 6x.

b) Имеем Δу = sin (x + Δх) – sin (x) = 2sin cos =>

= = ∙ = cos x.

Таблица производных

Основные правила дифференцирования

Пусть с – const, а u = u(x) и v = v(x) имеют производные в некоторой точке х. Тогда функции u(x)  v(x), c u(x), u(x) v(x) и u(x) / v(x) (v(x)  0) также имеют производные в этой точке, причем:

1. (u  v)= u  v;

2. (u  v)= uv + uv, в частности, (сu)= cu;

3. (u / v)= (uv – uv) / v², в частности, (с / v)= – cv / v²;

4. Пусть функция u = (x) имеет производную в точке х₀, а функция

у = f (u) – в точке u =  (x₀). Тогда сложная функция у = f ( (x)) также

имеет производную в точке х₀, причем y(x₀) = y(u₀)  u(x₀) .

Примеры 2. Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти f ′ ( x ), если:

a) f ( x ) = – 5^{x + 1}; b) f ( x ) =(x⁴ – x) ∙ (3tg x – 1).

а) Преобразуем функцию к виду f ( x ) = 9 x^–2/3 – 5 ∙ 5^x. Используя таблицу производных, получим: f ′ ( x ) = (9 x^–2/3 – 5 ∙ 5^x)′ = (9 x^–2/3)′ – (5 ∙ 5^x)′ = 9(x^–2/3)′ – 5 ∙ (5^x)′ =

= 9 ∙ – 5 ∙ 5^x ln x = – 6 x^–5/3 – 5 ^{x + 1} ln x .

b) Воспользуемся формулой для производной произведения: f ′ ( x ) = [(x⁴ – x) ∙ (3tg x – 1)]′ =

= (x⁴– x)′ ∙ (3tg x – 1) + (x⁴– x) ∙ (3tg x – 1) ′ = (4x³– 1) ∙ (3tg x – 1) + (x⁴– x) ∙ .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти производные функций: 1) y = x³ – x² + 2х – 4; 2) y = – ;

3) y = – + ; 4) y = х; 5) y = x + 3sin 1; 6) y = 5∙2^x + ctg x; 7) y = tg x – ctg x; 8) y = x³ log₂x; 9) y = –10arctg х + 7e^x;

10) y = (x² + x + 1) ∙ (x² – x + 1); 11) f (t) = ; 12) z = ( + 1) arcsin y;

13) u = ; 14) f (x) = arccos x – .

2. Найти производные указанных функций в точке х₀:

1) y = x arctg х, х₀ = 0; 2) y = x⁴ + x³ – 17⁵, х₀ = 1; 3) y = , х₀ = e;

4) y = , х₀ = 9.

Логарифмическая производная

При нахождении производных от показательно-степенной функции

u ( x )^{v ( x )} , а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять логарифмическую производную.

Логарифмической производной от функции у = f ( x ) называется производная от логарифма этой функции

(ln y)′ = => y′ = y ∙ (ln y)′.

Пример 4. Найти производную от функции у = х^х .

• Прологарифмируем обе части равенства у = х^х : ln y = x ln x. Продифференцируем полученное равенство (у есть функция от х!): => y′ = y (ln x + 1) или

y′ = х^х (ln x + 1).

Производная неявной функции

Пусть функция у = у ( x ), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением

F (x, y) = 0. (1)

Тогда производную у ( x ) этой функции можно найти, продифференцировав уравнение (1) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно у .

Пример 5. Найти производную неявно заданной функции у: х³ + у³ = sin ( x – 2y ).

• Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х ( поэтому, например, (у³)  ₌ 3 у²y′ ), получим: 3 х² + 3 у²y′ ₌ cos ( x – 2y ) ∙ (1 – 2 y′) => y′ (3 у² + 2cos ( x – 2y)) = cos ( x – 2y ) – 3 х² => y′ = .

Производная функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f ( x ) определена параметрически функциями х = х ( t ) и у = у ( t ). Тогда, если функции х = х ( t ) и у = у ( t ) имеют производные в точке t₀, причем х ( t )  0, а функция у = f ( x ) имеет производную в точке х₀ = х ( t₀ ), то эта производная находится по формуле

Пример 6. Найти производную y′(x) от функции, заданной параметрически:

x = 2cost, y = 3sint .

• y′(x) = = = – = –1,5 ctg t .

Задание для самостоятельного решения

Найти у (х ) для заданных параметрически функций у = у (х ):

a) x = t³ + t, y = t² + t + 1; b) x = t – sin t, y = 1 – cos t;

c) x = e^t sin t, y = e^t cos t; d) x = sin ² t, y = sin ² t; e) x = 5 sh t, y = 4 ch t.

Геометрический смысл производн ой

Пусть функция y = f ( x ) имеет производную в

точке х₀. Тогда существует касательная к графику

этой функции в точке М₀ (х₀; у₀ ), уравнение

которой имеет вид

y – у₀ = f ( x₀ ) ( x – x₀ ).

При этом f ( x₀ ) = tg , где  - угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение y – у₀ = – ( x – x₀ ).

Если f ( x₀ ) = 0 (т.е. касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и

имеет уравнение x = x₀.

Пусть даны две пересекающиеся в точке М₀ (х₀; у₀ ) кривые y = f ₁ ( x ) и

y = f ₂ ( x ), причем обе функции имеют производные в точке х₀. Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке М₀.

Этот угол можно найти из формулы

tg  = ( f₂ ( x₀ ) - f₁ ( x₀ ) ) / ( 1 + f₁ ( x₀ )  f₂ ( x₀ ) ).

Пример 7. Написать уравнения касательной и нормали к параболе

у² = 4х в точке М (1; 2).

• Находим у ( х ) как производную неявной функции: ( у² )  = ( 4х ) , т.е.

2 у у  = 4 => у  = 2 / y. Значит, у  ( х₀) = у  ( 1) = 1. Отсюда получаем уравнение касательной в точке М y – 2 = 1(x – 1) => y = x + 1. Уравнение нормали: y – 2 = –1(x – 1) => y = –x + 3.

Производные высших порядков

Производная f  ( x ) от функции f ( x ) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f  ( x ) называется производной второго порядка от функции f ( x ) (или второй производной) и обозначается f ( x ).

Аналогично определяется производная третьего порядка (или третья производная), обозначаемая f ( x ) и т.д. Производная n-ого порядка обозначается f ^{( n)} ( x ).

Для функции, заданной параметрически ( x = x ( t ), y = у ( t ) ), вторая производная у ( x ) находится по формуле = .

Пример 10. Найти: а) f  ( x ), где f ( x ) = sin 3x; b) y_xx для функции у = у ( х ), заданной параметрически x = t ², y = t ³.

 a) Находим первую производную f ( х ) = (sin 3x )  = 3 cos 3x. отсюда получаем вторую производную f ( х ) = (3 cos 3x)  = – 9 sin 3x , а затем

искомую третью: f ( х ) = (– 9 sin 3x)  = – 27 cos 3x .

Задание для самостоятельного решения

Найти производные указанных порядков для следующих функций:

a) y = tg 3x, y = ? b) y = – x cos x, y = ? c) y = ln²x, y = ?

d) y = x  ln x, y = ? e) y = e^2x, y^{(V )} = ? f) y = ln (1 + x), y⁽ⁿ⁾ = ?

g) x = t³, y = t², y_xx = ? h) x = cos t, y = sin t, y_xx = ?