Введение в математический анализ (практика)

1. Функции и их графики

Определение функции

Пусть каждому числу х из некоторого множества Х поставлено в соответствие определенное число у. Тогда говорят, что на множестве Х задана функция. Пишут:

y = f (x).

Переменная х называется независимой переменной (аргументом), а переменная у зависимой. Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D ( f ), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам х Х, – областью значений этой функции и обозначается E ( f ).

Если числу х₀ D ( f ) соответствует некоторое число y₀ E( f ), то

у₀ называется значением функции в точке х₀ (или при х = х₀).

График функции

Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция y = f (x). Графиком функции f (x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х D ( f ).

График функции y = f (x) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. В частности:

1. График функции y = f (x) + а получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оу на |a| единиц (вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0).

2. График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) сдвигом вдоль оси Оx на |b| единиц (вправо, если b > 0, и влево, если b < 0).

3. График функции y = k f (x) получается из графика функции y = f (x) растяжением вдоль оси Оу в k раз.

4. График функции y = f (mx) получается из графика функции y = f (x) сжатием по оси Ох в m раз.

5. График функции y = – f (x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Ох.

6. График функции y = f (–x) получается из графика функции y = f (x) симметричным отражением относительно оси Оу.

Четность, нечетность и периодичность функции

Функция называется четной, если х D ( f ) справедливо равенство

f (–x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Функция называется нечетной, если х D ( f ) справедливо равенство

f (–x) = –f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида (положения).

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число

Т > 0, что х D ( f ) справедливы условия:

1) х – T D ( f ), х + T D ( f ); 2) f (х – T) = f (х + T) = f (х ).

Число Т называется периодом функции f (х ). Если Т – период функции f (х ), то числа Т, 2Т, 3Т, … также являются периодами этой функции. Обычно под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов. Если функция периодическая с периодом Т, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо.

Сложная функция. Элементарные функции

Пусть область значений функции у = f (x) содержится в области определения функции g( y ). Тогда функции z = g( f (x)), х D ( f ) называется сложной функцией или композицией функций f и g и обозначается g f.

Основными (или простейшими) элементарными функциями называются:

постоянная функция у = с; степенная функция у = , α R; показательная функция у = , α > 0, α ≠ 1; тригонометрические функции у = sin x, у = cos x,

у = tg x, у = ctg x; обратные тригонометрические функции у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.

Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, –, ∙, :) и композицией (т.е. образования сложных функций).

Монотонная, обратная и ограниченная функция

Функция f (x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве

Х D( f ), если х₁, х₂ Х таких, что х₁ < х₂, справедливо неравенство:

f (х₁) ≤ f (х₂) (соответственно, f (х₁) ≥ f (х₂) ).

Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве

Х D( f ), если х₁, х₂ Х таких, что х₁ < х₂, справедливо неравенство:

f (х₁) < f (х₂) (соответственно, f (х₁) > f (х₂) ).

Функция f (x) называется монотонной, если она невозрастающая (убывающая) или неубывающая (возрастающая).

Пусть х₁, х₂ D( f ) справедливо, что f (х₁) ≠ f (х₂). Тогда для любого у Е ( f ) найдется только одно значение х = g ( y ) D( f ), такое, что у = f (x) . Функция g (y), определенная на Е ( f ), называется обратной для функции f (x).

Пусть функция х = g ( y ) (иногда ее обозначают х = f ^-1( y )) – обратная для функции у = f (x) . Если обозначить аргумент этой функции через х, то ее можно записать в виде у = g (x) . Тогда

g ( f (x) ) = х х D ( f ), f (g (x) ) = х х E ( f ).

График функции g ( х ), обратной для функции f (x), симметричен графику f (x) относительно прямой у = х.

Функция у = f (x) называется ограниченной на множестве Х D( f ), если существует такое число М > 0, что | f (x)| ≤ M х Х.

Гиперболические функции

Г иперболический синус: у = sh x = .

Г иперболический косинус: у = ch x = .

Гиперболический тангенс: у = th x = = .

Г иперболический котангенс: у = cth x = = .

Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для тригонометрических функций:

ch²x – sh²x = 1, ch2x = ch²x + sh²x,

ch(x y) = ch x ch y sh x sh y, sh(x y) = sh x ch y ch x sh y и т.д.

Неявные и параметрически заданные функции

Формула у = f (x) определяет явный способ задания функции.

Если каждое значение х D и соответствующее ему значение функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F(x; y) = 0, то говорят, что эта функция задана неявно уравнением F(x; y) = 0.

Графиком уравнения F(x; y) = 0 называется множество точек координатной плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Пусть на некотором множестве Т R заданы две функции x = x ( t ) и

у = у ( t ). Тогда множество точек на плоскости Оху с координатами (x ( t ); у ( t )), где t R, называется кривой (или линией), заданной параметрически. Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции

y = f (x), то эта функция также называется функцией, заданной параметрически.

Пример 6. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее

период, если он существует: a) f ( x ) = sin4x; b) f ( x ) = cos²5x;

c) f ( x ) = tg (x/3) ; d) f ( x ) = sin2x + cos3x; e) f ( x ) = x².

 a) Периодом функции sinx является число 2 . Покажем, что период sin4x – число 2 / 4 =  / 2. Действительно,

sin 4 ( x +  / 2 ) = sin ( 4x + 2 ) = sin4x, т.е. Т =  / 2 – период данной функции.

Аналогично можно показать, что периодом функций sin ( kx + b ) и cos ( kx + b ) является число 2 / k ;

b) Т.к. cos²5x = ( 1 + сos10x ) / 2 , то период данной функции совпадает с периодом функции cos 10x , который равен 2 / 10 =  / 5;

c) Период функции tg x равен   период функции tg (x/3) равен  / (1/3) = 3 ;

d) Периоды функций sin2x и cos3x соответственно равны 2 / 2 =  и 2 / 3. Период суммы этих функций равен наименьшему общему кратному их периодов, т.е. числу 2;

е) При х > 0 функция x² определена и возрастает, поэтому не может быть периодической.

Пример 8. Найти обратную функцию для данной:

a) у = x – 1; b) у = 2 / ( x + 3 ); c) у = .

 a) Функция у = x – 1 возрастает на промежутке (–, + ), а значит, для любых х₁  х₂ имеем f ( х₁ )  f ( х₂ )  эта функция имеет обратную. Для ее нахождения разрешим уравнение у = x – 1 относительно х  х = у + 1. Записывая полученную формулу в обычном виде (т.е. меняя местами х и у), найдем окончательно у = x + 1 - обратная функция к исходной;

b) Функция у = 2 / ( x + 3 ) убывает на множестве (–, –3 )  (–3, +), являющемся ее областью определения  у этой функции есть обратная  разрешим уравнение у = 2 / ( x + 3 ) относительно х  х = 2 / y – 3. Окончательно, у = 2 / х – 3 - обратная функция к исходной;

c) Функция у = x возрастает на промежутке [ 0, + )  имеет обратную  х = y²  y = x² .

Пример 9. Доказать, что функция y = x² не имеет обратной на интервале (–, + ).

 Для любого у₀ > 0 уравнение y₀ = x² имеет два решения х₁ =  y₀ и х₂ = – y₀ ( т.е. каждая горизонтальная прямая у = y₀ пересекает график функции y = x² в двух точках ). Но функция имеет обратную только в том случае, если такое решение единственно  эта функция не имеет обратной.

Пример 10. Функция y задана неявно. Выразить ее в явном виде:

a) xy = 7; b) x² + y² = 1, y  0.