§ 8.3. Коэффициенты ошибок

Если функция времени § (2) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от

начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение

имеет только конечное число m производных

то ошибку системы можно определить следующим образом. Из формулы (5.20) можно

найти изображение ошибки

где Фх (р) — передаточная функция замкнутой системы по ошибке, G (р) — изображение

задающего воздействия.

Разложим передаточную функцию по ошибке в выражении (8.18) в ряд ло возрастающим

степеням комплексной величины р:

сходящийся при малых значениях р, т. е. при достаточно больших значениях времени t, что

соответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданной

форме управляющего воздействия. Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки

Величины c0, c1, c2 ... называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться

согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам

В системах с астатизмом первого порядка с0 = 0, а коэффициент с4 связан с добротностью

по скорости соотношением

В системах с астатизмом второго порядка

с0 = 0 и с1 = 0,

а коэффициент с2 связан с добротностью по ускорению соотношением

§ 8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования прж некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы (рис. 8.3). Она может строиться для регулируемой величины у (t) или для ошибки х (t).

Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас-устойчивости могут быть

охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины г/тах или так называемым перерегулированием

где у (∞) ≠ 0 представляет собой установившееся значение

регулируемой величины после завершения переходного процесса. Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса tп. Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство

где Δ — заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимую

ошибку. Величина у (∞) в частном случае может равняться нулю. В следящих системах удобно применять сформулированные требования качества к ошибке системы х (t) = g (t) — у (t). В этом случае можно рассматривать область допустимых значений ошибки и при более сложных входных воздействиях, например при мгновенном приложении на входе постоянной скорости.

1. Время запаздывания t3, равное отрезку времени, заключенному между моментом приложения входного скачкообразного сигнала и моментом времени, при котором осредненная выходная величина становится равной половине ее установившегося значения. Примененный здесь термин «осредненная» означает, что в случаях, когда на передний фронт выходного сигнала накладываются высокочастотные колебания (это может иметь место в системах высокого порядка), величина t3 определяется по сглаженной кривой, аппроксимирующей реальную переходную характеристику системы.

2. Время нарастания tн, равное отрезку времени, заключенному между точкой пересечения оси времени с касательной, проведенной к осредненщщ кривой переходной характеристики в точке t = t3, и координатой t точки пересечения указанной касательной с горизонтальной прямой, соответствующей установившемуся значению регулируемой величины. Максимальное время нарастания tmax(н) ограничивается требуемым быстродействием. Минимальное время нарастания tmin(н) ограничивается допустимыми в системе ускорениями и колебательными режимами.