Самостоятельная работа №2 Системы счисления Теоретические сведения

1. Разложение по разрядам десятичного числа

Начнём рассматривать 10-ю систему счисления. Любое число можно разложить по разрядам. Например, 213 мы воспринимаем как 2 сотни, один десяток и три единицы.

Правило, по которому образуются разряды таково: необходимо взять основу системы счисления ( в нашем случае 10) и возвести её в разные степени, начиная с 0 (любое число в степени 0 равно 1).

Сначала определимся с разрядами:

10⁰=1

10¹=10

10²=100

10³=1 000

10⁴= 10 000

10⁵=100 000 и т.д.

Чтобы узнать сколько целых сотен содержится в числе 213, мы должны 213 / 100=2.

Полученная двойка обозначает, что число 213 содержит 2 сотни. После этого вычитаем 213-2*100=13 и получаем в остатке 13. Разбираемся с числом 13. Чтобы определить сколько целых десятков содержит 13 делим его на 10 (13/10=1 и + 3 в остатке), т.е. получаем 1 десяток и 3 единицы в остатке.

Всё, что мы проделали можно записать так:

213=2*10²+1*10¹+3*10⁰=200+10+3

2. Перевод из десятичного числа в двоичное

В качестве примера переведём десятичное число 213 в двоичное.

Посмотрим, как наше десятичное число 213 запишется в двоичной системе счисления.

Для начала определимся с разрядами в двоичной системе счисления.

2⁰=1

2¹=2

2²=4

2³=8

2⁴=16

2⁵=32

2⁶=64

2⁷=128

2⁸=256

2⁹=512

2¹⁰=1024 и т.д.

Мы ищем, двигаясь по разрядам число равное или меньшее нашего. В нашем случае подходит 2⁷=128. Подсчитываем, сколько раз число 128 содержится в числе 213. К счастью, вариантов может быть всего два: либо 1 раз, либо не одного. Мы должны просто сравнить числа 213 и 128, если число 213 больше или равно выбранному разряду поставить 1, если меньше, то 0. Поскольку 213 больше 128, мы ставим цифру 1. Теперь мы вычитаем из 213-128=85. Переходим к следующему разряду для числа 85. 2⁶=64. Сравниваем 85 и 64 и видим, что число 85 больше, чем 64, поэтому ставим после первой единицы вторую 1. Далее, мы вычитаем из 85-64=21. Переходим к следующему разряду 2⁵=32. Сравниваем числа 21 и 32. Число 21 меньше 32-х, поэтому после двух единиц ставим 0 и переходим к следующему разряду – 2 ⁴=16. Число 21 больше, чем 16, поэтому мы записываем 1. Вычитаем из 21-16=5. Сравниваем 5 со значением следующего разряда 2³=8.

Число 5 меньше, чем 8, поэтому пишем 0. Переходя к следующему разряду 2²=4, мы видим, что 5 больше, чем 4, поэтому мы записываем ещё одну 1. Вычитаем из 5-4=1. Далее мы сравниваем 1 со следующим разрядом 2¹=2. Видим, что 1 меньше чем 2 и ставим 0. Переходим к следующему разряду и 2⁰=1 и видим, что единица равна этому разряду, поэтому ставим 1. В результате у нас получился набор цифр 11010101 – это и есть запись десятичного числа 213 в двоичной системе счисления. Нетрудно проверить, что мы действительно всё сделали правильно, т.е. равенство выполнено:

213=1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=128+64+0+16+0+4+0+1, т.е.

213₁₀=11010101₂

3. Перевод из десятичного числа в восьмеричное

Рассмотрим, как десятичное число 215 можно перевести в восьмеричную систему счисления. Сначала распишем разряды:

8⁰=1

8¹=8

8²=64

8³=512

8⁴=4096 и т.д.

Ищем необходимый нам разряд, определяем, что это будет 8²=64, значит, что число будет трёхзначное.

Определяем, сколько целых раз 64 содержится в числе 215 (215 : 64=3 +23 в остатке), записываем 3 и рассматриваем, сколько целых раз следующий разряд 8¹=8 содержится в 23 (23 : 8=2 + 7 в остатке), записываем 2 и 7, т.е. получаем 327.

Проверяем 215=3*8²+2¹*8+7*8⁰=192+16+7

Т.е. 215₁₀=327₈

Можно осуществить перевод этого десятичного числа 215 в восьмеричную систему счисления, просто рассуждая логически на примере сортировок яблок. У нас есть 215 яблок, маленькие коробки, которые могут вместить 8 яблок и большие коробки, в которые помещаются 8 маленьких коробок.

Упаковав 8 маленьких коробок, мы уложим 64 яблока (8 х 8=64).

Определяем, сколько понадобится больших коробок – 215:64=3 + 23 яблока в остатке. Получили 3 большие коробки и 23 яблока.

Определяем, сколько маленьких коробок понадобится для 23 яблок – 23 : 8 = 2 + 7 яблок в остатке, т.е. нам для упаковки 215 яблок необходимо иметь 3 большие коробки, 2 маленькие коробки и 7 яблок в остатке, следовательно, получается число 327.

Проверяем 215=3*8²+2¹*8+7*8⁰=192+16+7

Т.е. 215₁₀=327₈