Производные и дифференциалы некоторых математических функций

Производная. Определение. Если f(x) – непрерывная функция одной переменной, то ее производной называется

.

Дифференциал. Определение. ,

Дифференцирование арифметических комбинаций.

(u, v, w – дифференцируемые функции,  и  - постоянные)

(u + v)’ = u’ + v’ , d(u + v)’ = du + dv’ ,

(u v)’ =u’v +u v’ , (u v)’ =udv + vdu ,

(u v w)’ = u’ v w + u v’ w + u v w’,

d(u v w) = v w du + u w d v + u v dw,

, (v 0).

Производные элементарных функций.

Функция	Производная
C	0
x	1
1/x	-1/x2
xn	nxn-1
ex	ex
ax	axlna
lnx	1/x
Sin x	Cos x
Cos x	- sin x
tg x
ctg x

Интеграл

1. Неопределенный интеграл.

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство F’(x) = f(x).

Если на некотором промежутке х функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение

называется неопределенным интегралом функции f(x), где С - произвольная постоянная; f(x)dx – подинтегральное выражение.

2. Основные правила интегрирования

Таблица простейших интегралов

3. Определенный интеграл

Определенным интегралом на промежутке [a;b] от непрерывной функции f(x) называется приращение F(b) – F(a) любой первообразной F этой функции на промежутке [a;b] и обозначается

,

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования.