Функция дисп

Синтаксис:

ДИСП (число1; число2;...)

Результат

Оценивает генеральную дисперсию по выборке.

Аргументы;

Число 1,число2, ………, - аргументы, соответствующие выборке из генеральной совокупности.

Используя выборочные данные, приведенные в табл. 4.10, по формуле =ДИСП(С4:С9) получим оценку генеральной дисперсии - 8960.

Функция эксцесс

Синтаксис;

ЭКСЦЕСС (число1; число2;...)

Результат:

Оценивает эксцесс по выборке.

Число1, число2, ...... - аргументы, для которых вычисляется эксцесс.

Математико-статистическая интерпретация;

Эксцесс характеризует так называемую «крутость», т. е. островершинность или плосковершинность распределения. Он может быть рассчитан для любых распределений, но в большинстве случаев вычисляется только для симметричных. Это объясняется тем, что за исходную принята кривая нормального распределения, для которой E_k= 0. Относительно этой вершины и определяется выпад вверх или вниз вершины эмпирического распределения. Функция ЭКСЦЕСС рассчитывает значение эксцесса как для симметричных, так и для асимметричных распределений.

Наиболее точным и распространенным является определение эксцесса, основанное на расчете центрального момента 4-го порядка:

E_k =

Применение данной формулы дает возможность вычислить значение эксцесса в генеральной совокупности.

Рис.4.3

При этом если E_k > 0, распределение островершинное (рис. 4.3), если E_k < 0 — плосковершинное (рис. 4.3).

Е_k=0

Е_k>0

Е_k<0

Рис 4.3

Рассмотрим расчет эксцесса по выборочным данным, представленным в табл. 4.11.

Таблица 4.11

Если данные образуют не выборочную, а генеральную совокупность, то эксцесс необходимо рассчитывать по стандартной формуле через центральный момент 4-го порядка и стандартное отклонение (табл. 4.12).

Табл.4.12

Содержимое ячеек в табл. 4.12:

ячейка С14 содержит формулу =СУММ(С4:С13) — рассчитывается общее количество абитуриентов;

ячейка С15 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(В4:В13;С4:С13)/С14 - определяется средний балл сдачи экзаменов;

ячейка С16 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(СТЕПЕНЬ(В4:В13-С15;4);С4:С13)/С14} — вычисляется центральный момент 4-го порядка;

ячейка С17 содержит формулу =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(СТЕПЕНЬ(В4:В13-С15;2);С4:С13)/С14)} - рассчитывается стандартное отклонение;

ячейка С18 содержит формулу = СТЕПЕНЬ(C17;4) – вычисляется 4-я степень стандартного отклонения;

ячейка С19 содержит формулу = С16/С18-3 – рассчитывается эксцесс.

В табл.4.11 и 4.12 эмпирические распределения имеют положительный эксцесс, т.е. они характеризуются скопление членов ряда в центрах распределений.

Функция скос

Синтаксис;

СКОС (число1; число2;...)

Результат;

Оценивает коэффициент асимметрии по выборке.

Аргументы:

Число1, число2………… - аргументы, для которых вычисляется коэффициент асимметрии.

Математико-статистическая интерпретация;

Определение формы кривой является важной задачей, так как статистический материал в обычных условиях дает по определенному признаку характерную, типичную для него кривую распределения. Всякое искажение формы кривой означает нарушение или изменение нормальных условий возникновения статистического материала.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Для симметричных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. С учетом этого показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между , Мо, Ме, тем больше асимметрия ряда. При этом если Мо < Ме, асимметрия правосторонняя, если Мо > Ме - асимметрия левосторонняя.

Наиболее точным и часто используемым является показатель, основанный на определении центрального момента 3-го порядка (в симметричном распределении его значение равно нулю):

А_s =

Применение данного показателя дает возможность определить величину асимметрии в генеральной совокупности. При этом если А_s.> 0 — асимметрия правосторонняя (положительная), если А_s < 0 — асимметрия левосторонняя (отрицательная) (рис. 4.4).

Рис.4.4

ПравосторонняяA_s>0

Симметричное

As=0

Левосторонняя

A_s<0

Рис. 4.4.

Необходимо отметить, что функция СКОС определяет величину асимметрии по выборочной совокупности, поэтому в ней реализована формула

А_s =

где n — объем выборки.

Рассмотрим расчет коэффициента асимметрии по выборочным данным, представленным в табл. 4.14.

Табл.4.14

Ячейка D14 содержит формулу = CKOC(D3:D11).

Если данные образуют не выборочную, а генеральную совокупность, то асимметрию необходимо рассчитывать по стандартной формуле через центральный момент 3-го порядка и стандартное отклонение (табл. 4.15).

Табл.4.15

Содержимое ячеек в табл. 4.15:

ячейка С14 содержит формулу =СУММ(С4:С13) - вычисляется общее количество абитуриентов;

ячейка С15 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(В4:В13;С4:С13)/С14 — определяется средний балл сдачи экзаменов;

ячейка С16 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(СТЕПЕНЬ(В4:В13-С15;3);С4:С13)/С14 - рассчитывается центральный момент 3-го порядка;

ячейка С17 содержит формулу =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ (СТЕПЕНЬ(В4:В13-С15;2);С4:С13)/С14) — вычисляется стандартное отклонение;

ячейка С18 содержит формулу =СТЕПЕНЬ(С17;3) — рассчитывается 3-я степень стандартного отклонения;

ячейка С19 содержит формулу =С16/С18 — рассчитывается коэффициент асимметрии.

В табл. 4.14 и 4.15 эмпирические распределения имеют положительную (правостороннюю) асимметрию, т. е. они характеризуются пологим склоном («хвостом») в правой части распределения.