Изучение сложения колебаний

Цель работы: изучить сложение взаимно перпендикулярных колебаний с помощью осциллографа.

Оборудование: цифровой осциллограф ADS-2111M, два звуковых генератора ADG-1005.

Теоретическое введение

Механические колебания – это процесс движения тела, при котором параметры движения (координата, скорость, энергия и т. д.), периодически повторяются. Колебания называются гармоническими, если смещение в зависимости от времени происходит по уравнению синуса, косинуса или экспоненты с мнимым показателем. Например,

x = A sin (w t + j). (1)

Здесь А – амплитуда колебаний, то есть наибольшее смещение тела от положения равновесия, w – циклическая частота, равная числу колебаний за время 2p секунд. Время одного полного колебания называется периодом колебаний . Число колебаний за единицу времени называется частотой . Аргумент функции синуса называется фазой, j – начальная фаза, определяющая параметры движения тела в начальный момент времени. За время, равное периоду колебаний, фаза изменяется на 2π радиан.

Пусть тело участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих по уравнениям

x = A₁ sin (w₁t + j₁), y = A₂ sin (w₂t + j₂). (1)

В математике это задание функции y(x) в параметрической форме. Здесь параметром является время. Зависимость y(x) является уравнением траектории. В общем случае траектория будет незамкнутой кривой, бесконечно заполняющей прямоугольник со сторонами 2А₁ – 2А₂. _. Лишь в том случае, когда отношение частот равно отношению целых чисел, траектория движения замыкается и периодически повторяется. Такие траектории называются фигурами Лиссажу.

Пример 1. Пусть частоты колебаний равны, w₁ = w₂, разность фаз равна нулю: x = A₁ sin(w t), y = A₂ sin (w t). Чтобы найти уравнение траектории, то есть зависимость y(x), следует из уравнений исключить параметр – время t, каким-либо способом. В данном случае для этого достаточно поделить уравнения. В результате получим . Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат из первого в третий квадрант (рис. 1, Δφ = 0). Если разность фаз равна p радиан, то знак, например, для координаты y, меняется на отрицательный и траектория колебаний проходит из второго в четвертый квадрант.

П ример 2. Пусть частоты колебаний равны, разность фаз равна p /2. Уравнения (1) примут вид: x = A₁ sin (w t), y = A₂ cos (w t). Чтобы исключить время t, воспользуемся теоремой тригонометрии: сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Подставив функции синуса и косинуса из уравнений колебаний, получим . Это уравнение эллипса с полуосями А₁ и А₂. Движение по траектории начинается в точке C и происходит по часовой стрелке (рис. 1, Δφ = π/2). Если амплитуды складываемых колебаний равны, то траектория будет окружностью радиуса, равного амплитудам.

Пример 3. Пусть частоты колебаний отличаются в два раза, начальные фазы равны нулю: x = A₁ sin w t, y = A₂ sin 2w t. Получим уравнение траектории, исключив время. Подставив функции синусов из уравнений колебаний в формулу тригонометрии , получим . Траектория похожа на цифру «восемь», (рис. 2а). В начальный момент времени точка начинает движение из начала координат, двигаясь по часовой стрелке.

Пример 4. Пусть частоты колебаний отличаются в два раза, разность начальных фаз равна π/2: x = A₁ sin w t, y = A₂ cos 2w t. Подставив в формулу cos2w t =1– 2sin²w t функции синуса и косинуса, получим Это уравнение параболы, вершина которой смещена по оси Оy на +А₂ , а ветви опущены вниз (рис.2b). Движение начинается с вершины.

П ри движении точки по траектории она касается стенок прямоугольника 2А₁ – 2А₂. Отношение числа касаний вертикальных стенок к числу касаний горизонтальных стенок равно отношению частот колебаний по горизонтали и вертикали. Если разность начальных фаз равна нулю, то линия фигуры проходит через начало координат.

Фигуры Лиссажу используются при определении частот и начальных фаз неизвестных колебаний при сложении с колебаниями эталонного генератора.

В данной лабораторной работе изучение сложения взаимно перпендикулярных колебаний производится с помощью цифрового осциллографа. Осциллограф предназначен для исследования электрических сигналов путем визуального наблюдения на жидкокристаллическом дисплее и для измерения их амплитудных и временных параметров. Если на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа подать от двух генераторов электрические гармонические колебания кратных частот, то на экране можно наблюдать фигуры Лиссажу (рис.3).

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Проверить подсоединение кабелей генераторов на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа в соответствие с маркировкой. Включить в сеть 220 В генераторы и осциллограф. Нажать кнопки Сеть приборов.

2. На дисплеях генераторов будет указана исходные параметры: частота 1.00000 кГц и амплитуда сигнала 1,000 В. Амплитуда достаточна, а частоту следует уменьшить, иначе точки, которыми изображена фигура Лиссажу на экране, будут расположены редко. Для этого нажмите на панели функций кнопку частоты Freq, если она не светится. Будет мигать цифра активированного разряда частоты. Уменьшайте частоту поворотом ручки Регулятор примерно до ста герц. Кнопками под регулятором < или > можно активировать другие разряды.

Аналогичные операции проведите со вторым генератором. Установите в первом опыте одинаковые частоты.

3. Если настройки осциллографа сохранились с предыдущего занятия, то на экране будет изображение фигуры Лиссажу в форме эллипса, который медленно поворачивается из-за изменения разности начальных фаз генераторов. Остановить можно, варьируя частоту одного из генераторов в последнем разряде. Но это не обязательно. Наоборот, увеличив разность частот, можно получить более быстрый поворот фигуры.

Если настройки не сохранились, то нажмите кнопку Displey. Внизу экрана появится окно диалога. Включите операцию сложения колебаний XY кнопкой H-3. На экране появится эллипс.

Зарисуйте в таблицу фигуры Лиссажу. Для определения разности фаз отключите сложение колебаний кнопкой H-3. Если красная и желтая синусоиды совпадают в начале координат, то разность фаз равна нулю. Если изображения смещены на четверть периода (одна переходит через нуль, а другая через максимум), то разность фаз равна π/2.

w1 : w2	Разность фаз
	0	p/2
1:1

4. Не менее двух раз повторить обнаружение фигур Лиссажу при другом соотношении частот. Для этого медленно изменяйте частоту одного из генераторов. Как только осциллограмма стабилизируется, исследуйте её. Определите соотношение частот, зарисуйте фигуры при разности фаз 0, π/2.

Выключить приборы.

5. Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите уравнение гармонических колебаний. Дайте определение параметрам движения.

2. Дайте определение фигур Лиссажу, условия их образования. Как влияет на форму фигуры синхронное изменение частот и амплитуд сигналов генераторов?

3. Выведите уравнение траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

4. Выведите уравнение траектории точки при сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых отличаются в два раза.

5. Докажите, что через время, кратное периодам колебаний, движение точки повторяется (например, из начала координат).

6. Объясните применение фигур Лиссажу.

Работа 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: определить момент инерции физического маятника в виде стержня с грузами по периоду собственных колебаний.

Оборудование: маятник, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Момент инерции твердого тела – это мера инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он является аналогом массы тела, которая является мерой инертности тела при поступательном движении. Согласно определению, момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела m_i на квадраты их расстояний до оси вращения r_i ²:

, или . (1)

Момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Как видно, инертность при вращении тела тем больше, чем дальше от оси расположены частицы тела.

Существуют различные экспериментальные методы определения момента инерции тел. В работе предлагается метод определения момента инерции по периоду собственных колебаний исследуемого тела как физического маятника. Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.

Для вывода формулы момента инерции маятника через период собственных колебаний применим основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

e = . (2)

М омент силы по определению равен произведению силы на плечо силы. Плечо силы – это перпендикуляр, опущенный из оси вращения на линию действия силы. Для маятника (рис. 1а) плечо силы тяжести равно d = а sina, где а – расстояние между осью вращения и центром масс маятника. При малых колебаниях маятника угол отклонения a сравнительно мал, а синусы малых углов с достаточной точностью равны самим углам. Тогда момент силы тяжести можно определить по формуле М = −mgа∙a. Знак минус обусловлен тем, что момент силы тяжести противодействует отклонению маятника.

Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (1) принимает вид

. (3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая при подстановке уравнение в тождество. Как видно из уравнения (3), для этого функция решения и ее вторая производная должны иметь одинаковый вид. В математике такой функцией может быть функция косинуса, синуса

a = a₀ sin (w t + j ), (4)

при условии, если циклическая частота равна . Циклическая частота связана с периодом колебаний, то есть временем одного колебания, соотношением T = 2p /w. Отсюда

. (5)

Период колебаний Т и расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника а измерить можно. Тогда из (5) момент инерции маятника относительно оси вращения С может быть определен экспериментально по формуле

. (6)

Маятник, момент инерции которого определяется в работе, представляет собой стержень с надетыми на него двумя дисками. Теоретически момент инерции маятника можно определить как сумму моментов инерции отдельных частей. Момент инерции дисков можно рассчитать по формуле момента инерции материальной точки, так как они невелики по сравнению с расстоянием до оси вращения: _, . Момент инерции стержня относительно оси, находящейся на расстоянии b от середины стержня, можно определить по теореме Штейнера . В итоге суммарный момент инерции маятника можно теоретически рассчитать по формуле

. (7)

Здесь m₁, m₂ и m₀ – массы первого, второго дисков и стержня, l₁, l₂ – расстояния от середин дисков до оси вращения, l₀ – длина стержня.

Расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника а, необходимое для экспериментального определения момента инерции в формуле (6), можно определить, используя понятие центра тяжести. Центр тяжести тела – это точка, к которой приложена равнодействующая сила тяжести. Поэтому если маятник положить горизонтально на опору, расположенную под центром тяжести, то маятник будет в равновесии. Затем достаточно измерить расстояние от оси С до опоры.

Но можно определить расстояние а расчетом. Из условия равновесия маятника на опоре (рис. 1б) следует, что момент результирующей силы тяжести относительно оси С (m₁ +m₂ + m₀)gа равен сумме моментов сил тяжести грузов и стержня m₁gl₁ + m₂gl₂ + m₀gb. Откуда получим

. (8)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Взвешиванием на весах определить массы дисков и стержня. Расположить на стержне и закрепить диски. Измерить расстояния от оси вращения до середин дисков l₁, l₂ и до середины стержня b, длину стержня l₀ по сантиметровым делениям на стержне. Результаты измерений записать в табл. 1.

Таблица 1

Масса 1 диска m1, кг
Масса 2 диска m2, кг
Масса стержня m0 , кг
Расстояние l1, м
Расстояние l2, м
Длина стержня l0, м
Расстояние до оси b, м

2.Включить электронный блок в сеть 220 В.

Измерить период колебаний. Для этого отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Нажать кнопку Пуск секундомера. Чтобы измерить время t, например, десяти колебаний, следует после девятого колебания нажать кнопку Стоп. Период равен Т = t/10. Записать результат в табл. 2, нажать кнопку Сброс. Опыт повторить не менее трех раз при других углах отклонения маятника.

Выключить установку.

4. Произвести расчеты в системе СИ. Определить среднее значение <Т> периода колебаний. Определить расстояние а от оси до центра тяжести маятника по формуле (8), или положить маятник на опору так, чтобы он находился в равновесии, и по делениям на стержне измерить расстояние а.

а, м	Т1, с	Т2, с	Т3, с	<T>,с	<Jэксп>,кг∙м2	Jтеор, кг∙м2

Таблица 2

5. Определить среднее экспериментальное значение момента инерции маятника <J_экс> по формуле (6) по среднему значению периода колебаний <T>.

6. Определить теоретическое значение момента инерции маятника J_теор по формуле (7).

7. Сделать вывод, сравнив теоретическое и экспериментальное значения момента инерции маятника. Оценить погрешность измерения D J =<J _эксп> – J _теор.

8. Записать результат в виде J_эксп = < J > ± D J .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение физического маятника, объясните, почему возможны собственные колебания маятника.

2. Запишите основной закон динамики вращательного движения для физического маятника.

3. В каком виде ищут функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения динамики для физического маятника. Проверьте, будет ли эта функция решением.

4. Запишите формулу для периода колебаний физического маятника. Как изменится период колебаний, если нижний диск сместить еще ниже?

5. Дайте определение момента инерции. Выведите формулу для определения теоретического значения момента инерции маятника.

6. Дайте определение центра тяжести. Выведите формулу для расчета положения центра масс. Как экспериментально можно определить положение центра масс маятника?

Работа 14