Челябинский институт путей сообщения –

филиал Уральского государственного университета путей сообщения

Кафедра естественно-научных дисциплин

МехаНика Учебно-методическое пособие к лабораторным занятиям по физике

Издание 3-е, дополненное

Челябинск

2014

УДК 531(07)

Ш95

Механика / сост. А. В. Шушарин; Челяб. ин-т путей сообщения, каф. естественно-научных дисциплин. – Изд. 3-е, доп. – Челябинск: Изд-во ЧИПС, 2014. – 113 с.

В пособии приводятся основные понятия, теоретические законы, которые изучаются при выполнении лабораторных работ по курсу «Механика, колебания и волны, термодинамика». Третье издание дополнено работами по курсу «Физические основы железнодорожного транспорта». Представлено описание лабораторных установок, указан порядок проведения эксперимента и обработки результатов измерений, даны вопросы для контроля знания изучаемой темы.

Предназначено для студентов очного и заочного отделений Челябинского института путей сообщения.

Составитель:

старший преподаватель кафедры естественно-научных дисциплин А. В. Шушарин

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент В. Л. Федяев;

кандидат педагогических наук, доцент М. А. Круглова

Печатается по решению учебно-методической комиссии факультета высшего профессионального образования ЧИПС УрГУПС (протокол № 2 от 12.12.2014)

© Шушарин А. В., сост., 2014

© Челябинский институт путей сообщения, 2014

Вводное занятие

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

К лабораторным занятиям допускаются студенты, прошедшие инструктаж по технике безопасности, усвоившие безопасные методы работы и расписавшиеся в журнале по технике безопасности.

При проведении работ студенты обязаны соблюдать следующие меры безопасности:

• не работать на неисправном оборудовании;

• не применять сломанных электрических вилок, розеток, оголенных проводов для подключения приборов к сети;

• не касаться токоведущих элементов;

• надежно закреплять подвижные грузы;

• не оставлять включенную лабораторную установку;

• после проведения измерений отключить приборы от сети;

• не загромождать проходы стульями, сумками;

• по окончании работы привести рабочее место в порядок;

• использовать измерительные приборы и инструменты по прямому назначению.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ

Изучить теоретический материал по данному пособию, учебнику, конспекту лекций. Ответить преподавателю на контрольные вопросы по теории работы, по выполнению эксперимента. Получить допуск к проведению лабораторной работы.

Провести эксперимент в соответствии с рекомендациями по выполнению работы. Внести результаты измерений в свой формуляр отчета. Представить результаты измерений для проверки корректности измерений преподавателю.

Произвести расчеты, оценить погрешности измерений. Построить при необходимости графики, проанализировать результаты, сделать выводы.

Сдать оформленный отчет преподавателю.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называют операцию, посредством которой определяется отношение измеряемой величины к другой однородной величине, принятой за единицу измерения. Обработка результатов измерений заключается в нахождении так называемого доверительного интервала значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение с заданной доверительной вероятностью. Произвести измерения абсолютно точно в принципе невозможно, всякое измерение содержит погрешность. Абсолютной погрешностью называют разность между измеренным значением и истинным: ΔХ = (X_изм – X_ист). Погрешности измерений могут быть обусловлены различными факторами. Существует три основных вида погрешностей измерений.

Случайной погрешностью, δХ, называется часть суммарной погрешности, вызванная действием большого числа неконтролируемых факторов, которые непредсказуемо влияют на результаты измерений и приводят к тому, что результаты многократных измерений случайным образом изменяются. Случайные погрешности приближенно оцениваются методами математической статистики по результатам многократных измерений.

Систематической погрешностью, θХ, называется другая часть суммарной погрешности, обусловленная действием некоторых постоянных факторов, которые можно учесть и исключить. Например: заменить грубый прибор более точным, усовершенствовать методику измерений, теоретически учесть влияние известных незначительных факторов, которыми вначале пренебрегали. Но это приводит к усложнению эксперимента, расчетов и эффект уменьшения систематической погрешности может быть незначительным по сравнению со случайной погрешностью.

Грубая погрешность, или промах, обусловлена невнимательностью экспериментатора. Например: неверный отсчет по шкале или неверная запись результата. Она обнаруживается, если одно из измерений сильно отличается от других. Поэтому следует производить не менее трех измерений. Измерение с промахом либо исключается, либо исправляется, если исправление достоверно.

Суммарная погрешность определяется как геометрическая сумма случайной и систематической погрешностей: .

Погрешности прямых измерений

Прямые измерения – это измерения, при которых результат определяется по шкале прибора, инструмента.

Истинное значение измеряемой величины никогда не известно. Пусть проведены многократные измерения n раз при одинаковых условиях. Если все результаты одинаковы, что бывает при использовании грубого прибора, то за оценку истинного значения принимают результат любого измерения. Погрешность измерения обусловлена только систематической погрешностью прибора.

Если результаты различаются, то в связи со случайностью погрешности по знаку и величине за оценку истинного значения принимают среднее арифметическое результатов отдельных измерений

. (1)

Только при бесконечно большом числе измерений и при отсутствии систематической погрешности среднее значение совпадет с истинным значением. На практике число измерений конечно, и поэтому среднее отличается от истинного значения измеряемой величины. Теория погрешностей позволяет только оценить доверительный интервал, то есть интервал около среднего значения, внутри которого находится истинное значение при заданной доверительной вероятности Р. Здесь доверительная вероятность – это вероятность попадания истинного значения внутрь доверительного интервала.

Пусть проведены многократные измерения. Разделим числовую ось Х на большое количество небольших отрезков, на них построим прямоугольники, высота которых равна доле результатов измерений, попадающих в данный отрезок (рис. 1). Если бы число измерений было бесконечно велико, то полученная ступенчатая фигура (гистограмма) приобрела бы симметричную форму, а ее огибающая была бы плавной кривой линией. Описывает ее функция, полученная Гауссом при следующих предположениях: отклонения одинаковой величины разного знака равновероятны, большие отклонения встречаются реже, чем малые:

(рис. 1).

Здесь σ – стандарт распределения.

Стандарт – это предельное значение среднеквадратичного отклонения S результатов измерений относительно среднего арифметического при бесконечно большом числе измерений: σ = lim S .

Где . Чем меньше стандарт, тем выше точность эксперимента. В доверительный интервал ±σ попадает 68 % результатов измерений, в интервал ±2σ – 95,3 % и в интервал ±3σ – 99,7 %.

Оценим, насколько среднеарифметическое значение отличается от истинного. Среднее арифметическое также является случайной величиной. Применяя к нему распределения Гаусса, получим, что оно ближе к истинному значению, чем среднеквадратичное отдельных измерений в раз: .

При большом числе измерений при доверительном интервале 2S_ср доверительная вероятность была бы P = 0,68. Но при конечном числе измерений, а также при желании большего значения доверительной вероятности чем Р = 0,68, следует увеличить доверительный интервал, введя поправочный коэффициент. Этот коэффициент рассчитан в математической статистике и называется коэффициентом Стьюдента t_n.

Половину рассчитанного доверительного интервала принимают за случайную погрешность среднего арифметического: или

. (2)

Здесь под корнем стоит сумма квадратов разностей между результатами измерений Х_i и их средним значением <X>.

Как видно, чем больше число измерений n, тем среднеарифметическое значение ближе к истинному значению, тем меньше случайная погрешность. В этом состоит необходимость многократных измерений. Однако разумное число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность была бы сравнима систематической погрешностью.

_{Таблица коэффициентов Стьюдента tp}

n	3	4	5	6	8	10	20
Р = 0,80	1,9	1,6	1,5	1,5	1,4	1,4	1,3
Р = 0,90	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,8	1,7
Р = 0,95	4,5	3,2	2,8	2,6	2,4	2,3	2,2

Пример оценки случайной погрешности

1. Записать результаты измерений расстояния Х в табл. 1.

Таблица 1

Х, см

12,2

12,6

13,0

12,7

13,1

12,5

<X> = 12,7 см

2. Определить среднеарифметическое значение. Результат округлить. см. <X> = 12,7 см. Записать в табл. 1

3. Определить по таблице коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности P= 0,90. t_pn=2,0.

4. Оценить случайную погрешность по формуле (2). Результат округлить до одной значащей цифры.

^см

5. Записать результат X = 12,7 ± 0,3 см, Р = 0,90.

Систематическую погрешность θX измерительных приборов при прямых измерениях оценивают либо как половину цены деления шкалы, либо по классу точности прибора. Класс точности – это выраженное в процентах отношение систематической погрешности к пределу измерения Х_пр. Он имеет значения от 0,05 до 4 %. Систематическую погрешность прибора определяют по формуле

. (3)

В других случаях систематическую погрешность оценивает сам экспериментатор, исходя из здравого смысла.

Суммарную погрешность измерений определяют как геометрическую сумму случайной и систематической погрешностей: . Если одна из погрешностей меньше другой более чем в 3 раза, то меньшей пренебрегают. Так как при числе опытов менее десяти уже первая цифра погрешности не достоверна, то расчеты погрешности следует производить приближенно с точностью до одной значащей цифры, может быть, даже устно.

Результат обработки результатов измерений всегда записывают в виде трех чисел – среднего арифметического <X>, суммарной погрешности D X и доверительной вероятности Р: X = <X> ± D X, Р =…%. Это следует понимать так: истинное значение находится в доверительном интервале от <X> − D X до <X> + D X с доверительной вероятностью, которую в студенческом эксперименте обычно принимаю равной Р = 90 %.

Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях значение измеряемой величины определяется по функциональной зависимости через аргументы, величины которых являются результатами прямых измерений.

Среднее значение результата косвенных измерений определяют, либо подставляя в функцию средние значения аргументов, полученных как результаты прямых измерений:

<Z> = f (<X>, <Y>…), (4)

либо функцию Z рассчитывают столько раз, сколько раз измерены аргументы X, Y… и затем находят среднее арифметическое рассчитанных результатов Z_i по формуле (1).

Оценку случайной погрешности при косвенных измерениях производят одним из четырех способов.

Способ 1. По формуле, полученной на основании аналогии между погрешностью и дифференциалом функции, как малых приращений функции. При этом учитывают, что погрешности измерений величин, входящих в формулу, никогда не компенсируют друг друга, в отличие от дифференциалов, и складываются геометрически:

. (5)

При этом погрешности измерения аргументов должны быть определены с одинаковой доверительной вероятностью.

По этой же формуле оценивается систематическая погрешность косвенного измерения θZ через систематические погрешности аргументов функции. В данном пособии расчетные формулы выведены.

Способ 2. Величину Z рассчитывают по результатам измерений аргументов функции столько раз, сколько проведено прямых измерений. Совокупность результатов обрабатывают как при прямых измерениях. Случайную погрешность оценивают по формуле (2).

Способ 3. Графический метод. Пусть измеряемая величина теоретически является линейной функцией Z = Z₀ + K X. В этом случае около экспериментальных точек на графике проводят прямую линию так, чтобы отклонения точек были бы минимальны (рис. 2). Ордината точки пересечения с осью Z дает среднее значение величины <Z₀>.

Для оценки случайной погрешности δZ₀ проводят параллельно экспериментальной линии две прямых линии так, чтобы все точки, кроме промахов, оказались между ними (рис. 2, пунктирные линии). Тогда половину расстояния между ними по оси ординат можно трактовать как 2÷3 среднеквадратичных отклонения результатов отдельных измерений σZ/2 = (2÷3)S. Случайная погрешность оценивается по формуле (2) . Подставив сюда коэффициент Стьюдента, который при числе измерений менее десяти имеет значение между 2 и 3, , и подставив , получим после сокращения

. (6)

Для определения среднего значения углового коэффициента <K> следует построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник. Среднее значение определим как отношение катетов треугольника:

. (7)

Для оценки случайной погрешности измерения углового коэффициента проводят на графике две диагонали параллелограмма области существования экспериментальных точек. Их угловые коэффициенты по координатам вершин параллелограмма как отношение катетов равны: и . Примем половину разности угловых коэффициентов за (2÷3) среднеквадратичных погрешности углового коэффициента: . Тогда случайную погрешность углового коэффициента можно, после сокращения на коэффициент Стьюдента t_р = (2÷3), оценить по формуле

(8)

Здесь σZ – расстояние по оси ординат между вспомогательными линиями (пунктир на рис. 2).

Способ 4. В научных исследованиях применяют для проведения средней прямой и для оценки случайной погрешности метод наименьших квадратов. Но расчеты достаточно трудоемкие. Поэтому в пособии отдается предпочтение простому графическому методу.

Суммарную погрешность косвенных измерений определяют по формуле как геометрическую сумму случайной и систематической погрешности. Так как при числе измерений менее десяти уже первая значащая цифра погрешности не является достоверной, расчеты можно произвести устно с точностью до одного знака. Если одна из погрешностей меньше другой в три и более раз, то меньшей пренебрегают. Результат записывают в виде трех чисел:

Z = <Z> ± ΔZ, Р =… Среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разрядом погрешности: например, J = (3,42 ± 0,06)10^-3 кг_•м², Р = 90 %.

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

График – геометрическое изображение функциональной зависимости. Это самое наглядное представление результатов эксперимента. График строится на миллиметровой или клетчатой бумаге. Вычерчиваются координатные оси. Для функции используется ось ординат, для аргумента – ось абсцисс. На осях наносят масштаб так, чтобы расстояние между делениями (1 см) составляло 1, 2, 5 единиц измеряемой величины. У оси указывают измеряемую величину, размерность и ее порядок (10^к). Масштаб выбирают так, чтобы экспериментальная линия заняла всю площадь графика. Поэтому наибольшее значение измеряемой величины должно быть близко к концу координатной оси. Вдоль оси указывают около пяти значений координат через равные промежутки. Если результаты находятся в диапазоне, далеком от нуля, то рекомендуется в начале координат помещать самое малое округленное значение (рис. 3). Размер графика – не менее половины страницы.

Точки следует наносить тщательно, обводя их каким-либо значком (○, ●, □, +). Около точек, но не через них, проводится экспериментальная линия. При этом следует руководствоваться правилами: линия должна быть гладкая, чем больше изгибов имеет линия, тем она менее вероятна; число точек выше и ниже линии должно быть примерно одинаковым; сумма квадратов отклонений точек от экспериментальной линии должна быть минимальна, не должно быть больших отклонений, лучше 2–3 маленьких.

Е сли известна теоретическая зависимость, то около точек проводится линия теоретической зависимости. Отклонения точек от линии обусловлены случайными погрешностями измерений. При возможности свести теоретическую зависимость к линейной проводят операцию линеа- ризации. Например, для функции график − кривая линия, экспонента, но если функцию прологарифмировать , то получаем уравнение прямой линии, которую построить гораздо проще (рис. 3).

Типичными ошибками при построении графиков являются: нанесение экспериментальных данных на оси координат вместо равномерного масштаба; проведение линий для построения экспериментальных точек; малый размер графика (менее половины страницы).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Объясните причину оценки неизвестного истинного значения средним арифметическим результатов измерений.

2. Чем обусловлены случайная и систематическая погрешности прямых измерений? Что такое промах, как его обнаружить и как с ним поступать?

3. Дайте определение доверительного интервала, доверительной вероятности.

4. Как зависит случайная погрешность среднего арифметического многократных измерений от среднеквадратичной погрешности отдельного измерения, от числа измерений, от доверительной вероятности?

5. Прокомментируйте формулу для оценки случайной погрешности прямых измерений. Как определяется коэффициент Стьюдента?

6. Как оценивается систематическая погрешность прямых измерений для классифицированного прибора, для линейки и для цифрового прибора?

7. Как оценивается суммарная погрешность результата измерений? Как записывается результат измерений?

8. Прокомментируйте формулу, по которой оцениваются случайная и систематическая погрешности косвенных измерений, полученную на основании аналогии погрешности с дифференциалом функции.

9. Объясните способ оценки случайной погрешности косвенных измерений сведением к формуле погрешности для прямых измерений.

10. Выведите расчетную формулу графического определения среднего значения и случайной погрешности углового коэффициента.

11. Объясните правила выбора масштаба координатных осей графика.

12. Перечислите правила проведения на графике линии относительно экспериментальных точек.