6.2. Частные случаи критерия Баейса

6.2.1 Критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно рисков

Бывают случаи, когда невозможно отдать предпочтение ни одному из состояний природы, следовательно, их надо считать равновероятными, т.е.

q₁ = q₂,=...=. q_n =1/n Этот принцип называется "принципом недостаточного основания Лапласа".

Критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно рисков являются частными случаями критерия Байеса, соответственно, относительно выигрышей и относительно рисков при q₁ = q₂,=...=. q_n =1/n .

Выведем соответствующие показатели только для чистых стратегий (в силу теоремы 5):

1. Показатель эффективности стратегии A_i по критерию Лапласа относительно выигрышей. Им будет являться среднее арифметическое элементов строки i. = , i=1,...,m.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей является стратегия с максимальным показателем эффективности.

2. Показатель неэффективности стратегии A_i по критерию Лапласа относительно рисков: = . Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно рисков является стратегия с минимальным показателем неэффективности.

6.2.2 Критерии относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей и с учетом рисков

В практике встречаются случаи, когда вероятности состояний природы q₁, q₂ , ... q_n неизвестны, но известно, какие состояния природы более вероятны, а какие менее.

Пусть последовательность q₁, q₂ , ... q_n монотонна. Например, если она убывающая, то наиболее вероятно состояние природы П₁ , наименее – П_n. Не зная, на сколько отличается одна вероятность от другой, можно придать ей относительные значения, пропорциональные членам некоторой подходящей монотонной последовательности ₁, ₂ , ... _n , где_к ≥ 0, k=1,...,n,

т.е. q₁ : q₂ : ... : q_n = ₁ :₂ : ... :_n

1. В качестве показателя эффективности с учетом выигрышей можно взять величину = , i=1,...,m.

Оптимальной среди чистых стратегий является стратегия A_i, показатель эффективности которой максимален,

2. В качестве показателя неэффективности с учетом рисков можно взять величину = , i=1,...,m. Оптимальной среди чистых стратегий является стратегия A_i с минимальным показателем неэффективности.

Замечание: Для того, чтобы выбрать наилучшую стратегию в играх с природой желательно проверить игру по всем Байеса. Стратегия, которая встретится наибольшее число раз – наилучшая.

Пример 9. «Планирование посева»

Сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из трех культур – А₁, А₂ , А₃ . Необходимо определить, какую культуру сеять, если при прочих равных условиях урожаи этих культур зависят главным образом от погоды, а статистические данные о погодных условиях отсутствуют. План посева должен обеспечить наибольший доход. Состояния погоды можно охарактеризовать тремя вариантами: В₁ - сухо, В₂ – нормально, В₃ - влажно. Показатели урожайности культур в зависимости от состояний погоды и цена каждой культуры приведены в таблице. Какую культуру надо сеять, если q₁ =0,3, q₂ =0,5, q_n =0,2, а эксперты на предприятии не зная точных q_j , считают, что состояния погоды соответствуют последовательности q₁ : q₂ : q₃ = ₁ :₂ : ₃ =

= 2 : 3 :1?

Таблица 7

Состояния погоды	Урожайность культуры в центнерах
	А1	А2	А3
В1	20	7,5	0
В2	5	12,5	7,5
В3	15	5	10
Цена за 1 центнер	2	4	8

Для начала составим платежную матрицу игры. В данном случае статистик – игрок А, поэтому его стратегиям будут отвечать строки (транспонируем матрицу). Домножим урожайность на цену и получим выигрыши игрока А (таблица 8). Проверим игру на существование решения в чистых стратегиях, для этого найдем  и .

, .

Таблица 8.

Аi \ Вj	В1	В2	В3
А1	40	10	30	10
А2	30	50	20	20
А3	0	60	80	0
	40	60	80	 =20 = 40

Решения игры в чистых стратегиях не существует. Просчитаем наилучшую смешанную стратегию игрока А по всем критериям Байеса и относительно выигрышей и относительно рисков.

1. Относительно выигрышей:

= q₁a_i1 + q₂a_i2 + ...+ q_na_in = , i=1,...,m.

Критерий Байеса:

= 0,340 + 0,510 + 0,230 = 23, = 0,330 + 0,550 + 0,220 = 38,

= 0,30 + 0,560 + 0,280 = 46  max  ={ А₃}.

Критерий Лапласа, q₁ = ...= q_n =1/ n =1/3.

= 1/3(40 + 10 + 30) = 80/3, = 1/3(30 + 50 + 20) = 100/3,

= 1/3(0 + 60 + 80) = 140/3  max  ={ А₃}.

Критерий относительных значений вероятностей природы:

₁ :₂ : ... :_n =2 : 3 :1, =

= 240 + 310 + 130 = 140, = 230 + 350 + 120 = 130,

= 20 + 360 + 180 = 260  max  ={ А₃}.

2. Относительно рисков: = , i=1,...,m.

Матрица рисков состоит из элементов r_ij = _j - a_ij , _j = . Тогда матрица рисков R будет выглядеть так:

Критерий Байеса:

= 0,30 + 0,550 + 0,250 = 35, = 0,310 + 0,510 + 0,260 = 20,

= 0,340 + 0,50 + 0,20 = 12  min  ={ А₃}.

Критерий Лапласа, q₁ = ...= q_n =1/ n =1/3.

= 1/3(0 + 50 + 50) = 100/3, = 1/3(10 + 10 + 60) = 80/3,

= 1/3(40 + 0 + 0) = 40/3  min  ={ А₃}.

Критерий относительных значений вероятностей природы:

₁ :₂ : ... :_n =2 : 3 :1, =

= 20 + 350 + 150 = 200, = 210 + 310 + 160 = 110,

= 240 + 30 + 10 = 80  min  ={ А₃}.

Расчеты по всем критериям показали, что наилучшей стратегией будет стратегия А₃. Если бы разные критерии показали разные стратегии, то вкачестве рекомендуемой мы выбрали бы ту, которая получилась в качестве оптимльной наибольшее количество раз.

Ответ. Оптимальная стратегия - А₃.