6.1. Принятие решений в условиях риска

Пусть статистику, т.е. игроку A, известны состояния природы П₁,...,П_n, а также соответствующие вероятности q₁, q₂ , ... q_n , с которыми природа реализует эти свои состояния. Таким образом, возникает ситуация принятия решения в условиях риска.

6.1.1 Критерий Баейса относительно выигрышей

Показателем эффективности чистой стратегии A_i по критерию Байеса относительно выигрышей называется математическое ожидание выигрыша стратегии A_i c учетом вероятностей всех возможных состояний природы, т.е.: = q₁a_i1 + q₂a_i2 + ...+ q_na_in = , i=1,...,m.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей является стратегия A_i⁰ с максимальным показателем эффективности, т.е.

Таким образом, решение, выбранное по этому критерию, является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

В общем случае, т.е если игрок A выбирает смешанную стратегию P=(p₁,...,p_m), его выигрышем при состоянии природы П_j является

H(P, П_j) = j=1,...,n.

Для смешанных стратегий показателем эффективности стратегии P по критерию Байеса относительно выигрышей называется математическое ожидание выигрыша стратегии P c учетом вероятностей q₁, q₂ , ... q_n всех возможных состояний природы, т.е

Оптимальной среди смешанных стратегий игрока A по критерию Байеса

относительно выигрышей будет являться стратегия P^o, показатель эффективности которой максимален:

.

Замечание. Стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критериям Байеса относительно выигрышей и относительно рисков, является оптимальной по тем же критериям и среди всех смешанных стратегий игрока A. Поэтому при принятии решения мы будем рассматривать только чистые стратегии.

6.1.2 Критерий Баейса относительно рисков

Как было указано выше, матрица рисков R_A для платежной матрицы A

игры с природой состоит из элементов r_ij = _j - a_ij , _j = , j =1,...,n.

где a_ij - элементы матрицы A.

Показателем неэффективности чистой стратегии A_i по критерию Байеса относительно рисков называется математическое ожидание риска стратегии A_i : = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + ...+ q_n r_in = , i=1,...,m.

Таким образом, является средней взвешенной i-той строки матрицы с весами

q₁, q₂ , ... q_{n .}Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия A_i⁰ с минимальным показателем неэффективности .

Риск при использовании игроком A смешанной стратегии P=(p₁,...,p_m) при состоянии природы П_j , j =1,...,n представляет собой разницу между максимальным выигрышем при всех смешанных стратегиях и выигрышем при конкретной смешанной стратегии. Оптимальная стратегия по критерию Байеса относительно рисков всегда существует.

Теорема 5. Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны.

Исходя из вышесказанного, при решении задач в условиях риска достаточно рассматривать только чистые стратегии и только относительно выигрышей.