Алгоритм геометрического решения игры 2×n

1. Откладываем горизонтальный отрезок [0,1], каждая точка которого соответствует смешанной стратегии игрока A. В концах этого отрезка проводим два перпендикуляра. Левый соответствует чистой стратегии A₁, правый - чистой стратегии A₂ игрока A.

2. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с горизонтальным отрезком откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первой строки платежной матрицы. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второй строки платежной матрицы. При этом масштабы на обоих перпендикулярах должны быть одинаковые, но не обязаны совпадать с масштабом отрезка [0,1].

3. Каждую пару точек, изображающих элементы a_1j, a_2j, j=1,...,n, стоящих в j-м столбце платежной матрицы, соединяем отрезком a_1j, a_2j . Таким образом будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций

H(P,B_j )=(a_2j-a_1j )p+ a_1j, j=1,...,n, p[0,1].

4. Находим нижнюю огибающую семейства построенных отрезков a_1j, a_2j, представляющую собой выпуклую вверх ломаную. Затем находим максимальную точку нижней огибающей. Абсцисса р^o этой точки определяет оптимальную смешанную стратегию P^o=(1- p^o , p^o) игрока A. Ордината наивысшей точки нижней огибающей равна цене игры V.

5. Верхний из концов нижней огибающей, лежащих на перпендикулярах, есть нижняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. . Нижний из верхних концов отрезков a_1j, a_2j, j=1,...,n, есть верхняя цена игры в чистых стратегиях .

6. Элемент платежной матрицы, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока B, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Пример 4. Графически решить игру:

Действуя по алгоритму геометрического нахождения игры 2×N (рисунок 3.2), находим, что цена игры V=3,5, нижняя цена игры: =2, верхняя цена игры: =4, оптимальная стратегия игрока A: P^o=(1/2,1/2).

Рисунок 3.2

Алгоритм геометрического решения игры м×2

1. Откладываем горизонтальный отрезок [0,1], каждая точка которого

соответствует смешанной стратегии игрока B. В концах этого отрезка проводим два перпендикуляра. Левый соответствует чистой стратегии B₁, правый - чистой стратегии B₂ игрока B.

2. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с горизонтальным отрезком откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первого столбца платежной матрицы. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второго столбца платежной матрицы. При этом масштабы на обоих перпендикулярах должны быть одинаковые, но не обязательно совпадающие с масштабом отрезка [0,1].

3. Каждую пару точек, изображающих элементы a_i1, a_i2, i=1...m, стоящих в i-той строке платежной матрицы, соединяем отрезком a_i1, a_i2 . Таким образом будут построены m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций, зависящих от вероятности q: H(A_i,Q)=(a_i2-a_i1)q+a_i1, i=1...m, q [0,1].

4. Находим верхнюю огибающую семейства построенных отрезков a_i1, a_i2 , представляющую собой выпуклую вниз ломаную. Затем находим минимальную точку верхней огибающей. Абсцисса q^o этой точки определяет оптимальную смешанную стратегию Q^o=(1-q^o,q^o) игрока B. Ордината наинизшей точки верхней огибающей равна цене игры V.

5. Верхний из нижних концов отрезков a_i1, a_i2 есть нижняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. . Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. .

6. Элемент платежной матрицы, изображающая точка которого является нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхней на перпендикуляре,на котором она лежит, будет седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока A, номер которой совпадает с первым индексом седловой точки, является оптимальной.

Пример 5. Графически решить игру:

Действуя по алгоритму геометрического нахождения игры М×2

(рисунок 3.3), находим, что цена игры V=4, нижняя цена игры: =3, верхняя цена игры: =5, оптимальная стратегия игрока B: Q^o=(2/3, 1/3).

Рисунок 3.3

Пример 9. Решить графически игру, заданную платежной матрицей:

Нижняя цена игры равна а₁₁=1,5. Верхняя цена игры равна а₂₁=2, седловая точка отсутствует.

Для игрока А решение представлено на рис. 3.4. Точка N определяет оптимальную стратегию, а ордината - цену игры v. Найдем точку пересечения соответствующих прямых:

v = 1,5p₁ + 2(1 – p₁)

v = 3p₁ + 1(1 – p₁)

1,5p₁ +2(1–p₁) = 3p₁ + 1 (1–p₁)

2,5p₁=1, p₁=0,4, p₂=0,6, v=1,8.

Получаем N(0,6; 1,8).

Рис. 3.4. Решение матричной игры для игрока А

Следовательно, оптимальная стратегия игрока А заключается в выборе стратегии А₁ с вероятностью 0,6 и стратегии А₂ с вероятностью 0,4. При этом цена игры v = 1,8.

Для игрока В решение представлено на рис. 3.5. Находя точку пересечения соответствующих прямых, получаем М(0,2; 1,8).

Рис. 3.5. Решение матричной игры для игрока В

Следовательно, оптимальная стратегия игрока В заключается в выборе стратегии В₁ с вероятностью 0,8 и стратегии В₂ с вероятностью 0,2 = 1 – 0,8. При этом цена игры v = 1,8.

Оптимальное решение игры найдено.

Пример 10. Найти решение игры, заданной матрицей

Проверим наличие седловой точки

Так как , седловой точки нет. Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока А.

Ломанная изображает верхнюю границу выигрыша игрока А. На нем определяем К с минимальной ординатой, которая и есть цена игры . Оптимальные стратегии для игрока А – вторая и третья.

Матрица оптимальных стратегий имеет вид

По формулам

, ,

, ,

Находим

, ,

,

Следовательно, решение игры таково:

, ,

Пример 11. Решить матричную игру

5	1	9	-3	13
2	8	-2	12	-6

Решение. Проверим наличие седловой точки

Здесь – седловой точки нет.

Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока В.

Ломаная соответствует нижней границе выигрыша. На ней определяем точку К с максимальной ординатой, которая и есть цена игры . Оптимальные стратегии для игрока В – первая и четвертая.

Матрица оптимальных стратегий имеет вид

По формулам

, ,

, ,

находим

,

,

При этом

Следовательно, решение игры таково

, , .

Пример 12. Решить игру, заданную матрицей

Решение. Проверим наличие седловой точки

т.к. 3=3 задача с седловой точкой.

Оптимальной для первого игрока является 2-ая стратегия, для второго игрока 1-ая. При этом выигрыш первого игрока не менее 3, проигрыш второго игрока не более 3.

Ответ: , .

Задача для самостоятельной работы 2. Найти решение игры геометрическим способом, где платежная матрица игры: .

Задача для самостоятельной работы 3. Найти решение игры геометрическим способом, где платежная матрица игры: .