Игра с матрицей h2х2.

Рассмотрим платежную матрицу H_2х2 общего вида

(3.1)

Если седловой точки нет, то решением игры являются смешанные стратегии и .

Согласно основной теореме теории игр, применение оптимальной стратегии игроком А обеспечивает получение выигрыша V при любых стратегиях игрока В. Сказанное приводит к системе уравнений:

Кроме того,

Решение этих уравнений даст:

, ,

.

Аналогично применение оптимальной стратегии обеспечивает проигрыш V игроку В при любых стратегиях А, что приводит к системе

Ее решение дается формулами

, .

Итак, если платежная матрица H_2х2 не является строго определенной, то оптимальными стратегиями для игроков А и В служат

(3.2)

(3.3)

Цена игры

(3.4)

Пример 8. Найти оптимальные стратегии и цену игры с матрицей

Решение. Имеем, a₁₁=1, a₁₂=3, a₂₁=2, a₂₂= –1.

Игра не строго определенная (проверить). Воспользуемся формулами (3.2 – 3.4).

Итак,

Такая тактика обеспечит игроку А средний выигрыш, равный V = 7/5. Если бы А стал пользоваться своей максиминной стратегией, то его выигрыш был бы равен α =1 .

Для В оптимальная стратегия обеспечивает его средний проигрыш 7/5 , тогда как при применении минимаксной стратегии он будет проигрывать в среднем β =2.

Значение V = 7/5 показывает, что рассмотренная игра выгодна как для А, так и для В.

3.2. Графическое решение матричной игры

Если число стратегий одного из игроков равно двум, то для нахождения оптимальных стратегий можно легко воспользоваться графическим методом.

Пусть платежная матрица имеет вид

.

Для произвольной стратегии второго игрока, контролирующего столбцы, имеем выигрыш первого игрока

,

поскольку, как сказано раньше,

, .

Графиком зависимости будет некоторая прямая. Для разных стратегий, то есть для разных , получаются разные прямые.

Рассмотрим прямоугольную систему координат, где по оси абсцисс откладывается единичный отрезок A₁A₂; точка A₁ изображает стратегию A₁ , а точка A₂ изображает стратегию A₂. Все промежуточные точки этого отрезка - смешанные стратегии первого игрока, причем расстояние до правого конца отрезка - это вероятность p₁ стратегии A₁, расстояние до левого конца отрезка это вероятность p₂ стратегии A₂. На перпендикулярах х=0 и х=1 откладываем выигрыши при стратегиях A₁ и A₂ соответственно (Рис.3.1).

Рис. 3.1. Графическое нахождение цены игры

На рис. 3.1 изображен случай для игры 2 3. Из принципа минимакса следует, что надо взять нижнюю огибающую всех прямых, соответствующих стратегиям второго игрока (она показана на рисунке жирной линией), а на этой ломаной, обязательно обращенной выпуклостью вверх, надо найти вершину, имеющую максимальное значение v*. Абсцисса этой точки x* и будет искомым значением p₁*.

Геометрически можно определять и оптимальную стратегию игрока В для игры , но в этом случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум.