Зависимость дохода предприятия

Товар	Погодные условия
	Дожди (B1)	Облачно (B2)	Ясно (B3)
Пальто(A1)	6	9	4
Куртки (A2)	10	6	2
Ветровки (A3)	1	2	8

 

Тогда платёжная матрица A имеет вид:

А = 

 

Элемент матрицы A — (a_ij) показывает, какой доход может получить фирма с, если она будет выпускать товар i (i =1, 2, 3), а погода будет находиться в состоянии j (j = 1, 2, 3).

Необходимо определить пропорции, в которых предприятие должно выпускать продукцию из имеющегося материала, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от погодных условий.

Данная задача может быть сведена к антагонистической игре: в качестве первого игрока выступает предприятие, а в качестве второго — природа. Предположим, что природа может вести себя таким образом, чтобы минимизировать выгоду фирмы, преследуя, таким образом, противоположные интересы (это предположение позволяет оценить доход фирмы при максимально неблагоприятных погодных условиях). В этом случае фирма имеет в своём распоряжении три чистые стратегии:

1.  производить только пальто;

2.  производить только куртки;

3.  производить только ветровки;

Как игрок, природа может использовать три возможные стратегии:

1.  дождливую погоду (B₁);

2.  облачную погоду (B₂);

3.  ясную погоду (B₃).

Решение:

1.  Проанализируем платёжную матрицу A.

А = 

 

Матрица A не имеет доминируемых стратегий, следовательно, упростить ее нельзя

2.  Проверим, имеет ли данная игра седловую точку.

Найдём нижнюю и верхнюю цену игры:

V_*=max_i min_ja_ij = 4.

V^*=min_jmax_ia_ij = .

V_* ≠V^*, поэтому данная антагонистическая игра не имеет седловой точки, а, следовательно, и решения в чистых стратегиях.

3.  Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведём ее к задаче линейного программирования. Если предприятие применяет свою оптимальную смешанную стратегию P^*, а природа применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который фирма может получить, будет не меньше цены игры V. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

 

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные:

y_{1 =}  ; y_{2 =}  ; y_{3 =} 

Поскольку p1+ p2+ p3= 1, новые переменные удовлетворяют условию:

y1 + y2 + y3 = 1/V

В результате получим новую систему неравенств:

 

Поскольку цель первого игрока — максимизация его выигрыша, а математическое ожидание его выигрыша не меньше цены игры, он будет стремиться максимизировать цену игры, что эквивалентно минимизации величины 1/V.

Таким образом, для первого игрока задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:

F(y_i) = y₁ + y₂ + y₃ → min

при следующих функциональных ограничениях:

и прямых ограничениях:

y₁ ≥ 0, y₂≥ 0, y₃≥ 0

Далее рассмотрим второго игрока — природу. Если будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q^*, а первый игрок — предприятие будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока не будет превышать цены игры. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные:

x1= ; x2= ; x3=

Поскольку q1+ q2+ q3= 1, новые переменные удовлетворяют условию:

x1 + x2 + x3 = 1/V

В результате получим новую систему неравенств:

 

Поскольку цель второго игрока — минимизация проигрыша, а математическое ожидание его проигрыша не больше цены игры, то второй игрок будет стремиться минимизировать цену игры, что эквивалентно максимизации величины 1/V.

Таким образом, для природы задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:

F'(x_i) = x₁ + x₂ + x₃ → max

при следующих функциональных ограничениях:

и прямых ограничениях:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0

Таким образом, для того чтобы найти оптимальную смешенную стратегию второго игрока, необходимо также решить задачу линейного программирования.

Задачи обоих игроков свелись к паре двойственных задач линейного программирования:

Таблица 1.