Тема 3. Элементы векторной алгебры

3.1. Векторы, линейные операции над векторами

Определение. Вектором называется направленный отрезок, где А – начальная, а В – конечная точки вектора.

Векторы обозначают также малыми латинскими буквами , , .

Определение. Модуль вектора – это длина отрезка, изображающего вектор, записывают .

Определение. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Определение. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Два вектора называются равными, если равны их модули и совпадают направления.

Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Определение. Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор = + , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников).

Вектор суммы + равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах и выходящий из их общего начала (правило параллелограмма).

Определение. Разностью двух векторов + называется вектор = – , который в сумме с вектором дает вектор . Начало вектора совпадает с концом вычитаемого вектора , а конец – с концом уменьшаемого вектора . Разность векторов – можно рассматривать как сумму векторов и .

Определение. Произведением вектора на число называется вектор с длиной равной и соноправленный с вектором , если , и с направлением противоположным при .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1⁰. + = + ;

2⁰. ( + ) + = + ( + );

3⁰. ( + ) = + , где ;

4⁰. ( + ) = + , где .

Определение. Ортом векторам называется соноправленный с ним единичный вектор .

Всякий вектор может быть представлен в виде .

3.2. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях

Определение. Проекцией вектора на ось называется число, равное длине составляющей, взятое со знаком плюс, если составляющая соноправлена с осью и со знаком минус в противном случае (рис. 1)

.

Рис. 1

Теорема 6. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью

.

Теорема 7. Если вектор умножить на число , то его проекция на ось также умножится на это число

.

Теорема 8. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме слагаемых векторов на ту же ось

.

Определение. Координатами вектора называют его проекции на координатные оси Ох, Оу, Oz. Записывают или – разложение вектора по ортам , , координатных осей Ох, Оу, Oz.

Определение. Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат

.

Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , , , образованных этим вектором с осями координат Ох, Оу, Oz:

, , , причем .