Тема 1. Матрицы. Определители системы линейных уравнений

1.1. Матрица. Основные понятия

Определение. Матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, … и записываются в виде:

или в сокращенной записи: , , . Каждый элемент матрицы имеет два индекса i и j, которые показывают, что элемент находится в i -ой строке и j -ом столбце.

Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: , , .

Определение. Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки:

.

Определение. Матрицей-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца:

.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m = n), называется квадратной матрицей порядка n. Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

.

Определение. Диагональ, содержащая элементы , называется главной, а диагональ, содержащая элементы , называется побочной (или вспомогательной).

Определение. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали называются диагональными:

.

Определение. Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается:

.

1.2. Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

При умножении матрицы на число каждый ее элемент умножается на это число .

Пример.

Дана матрица , тогда .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера mхn является матрица C размера mхn, элементы которой вычисляются по формуле для , (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Пример.

Даны матрицы и , тогда матрица

.

3. Вычитание матриц.

Разностью матриц и одинакового размера mхn является матрица D размера mхn, элементы которой вычисляются по формуле для , .

Пример.

Даны матрицы и , тогда матрица

.

4. Умножение матриц.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:

.

Пример.

Даны матрицы и , тогда

.

5. Возведение в степень.

Целой положительной степенью (m > 1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е.

. Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

Пример.

Дана матрица , тогда

.

6. Транспонирование матрицы.

Переход от матрицы A к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы. Из определения следует, что если матрица A имеет размер mхn, то транспонированная матрица имеет размер nхm.

Пример.

Дана матрица , тогда .