2.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Острый угол между прямыми и определяется по формуле

.

Условие параллельности прямых имеет вид .

Условие перпендикулярности прямых имеет вид .

2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М(х₀; у₀) до прямой находится по формуле

.

3. Пучок прямых. Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями и , то уравнение

,

где – числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении различные значения, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр которого есть точка пересечения прямых.

Решение типового задания.

Даны вершины треугольника А(1; 1), В(5; 4), С(2; 6). Найти:

1) длину стороны АС;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СН;

4) уравнение медианы АМ;

5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

Решение.

1) Найдем длину стороны АС.

2) Найдем уравнение стороны АВ, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: . Имеем: 3х – 4у + 1 = 0.

3) Уравнение высоты СН составим как уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку С(х₁; у₁):

.

Так как , то . Найдем угловой коэффициент прямой АВ из ее уравнения 3х – 4у + 1 = 0.

. Отсюда , а .

Уравнение высоты СН примет вид:

или .

4) Медиана АМ выходит из точки А(1; 1) и по свойствам медианы делит противолежащую сторону пополам, значит М – середина стороны ВС. Найдем координаты точки М по формулам середины отрезка ВС:

, М(3,5; 5).

Найдем уравнение медианы АМ, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: . Имеем: 4х – 2,5у – 1,5 = 0 или 8х – 5у – 3 = 0.

5) Чтобы найти точку N пересечения медианы АМ и высоты СН, необходимо решить систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим точку .

Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки А до прямой ВС. Для этого составим уравнение прямой ВС, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки: , получаем 2х + 3у – 22 = 0.

6) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ обозначим СК. Так как СК||АВ, то = = . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через точку С(х₁; у₁):

.

Получаем , тогда уравнение прямой СК имеет вид 4у – 3х – 18 = 0.

Задачи №31-60:

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны АС;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СН;

4) уравнение медианы АМ;

5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

31. А(1; -3), В(0; 7), С(-2; 4)	46. А (1; 1), В(7; 4), С(4; 5)
32. А(7; 0), В(1; 4), С(-8; -4)	47. А (2; 0), В(8; 3), С(5; 4)
33. А(0; 2), В(-7; -4), С(3; 2)	48. А (3; -1), В(9; 2), С(6; 4)
34. А(3; -1), В(11; 3), С(-6; 2)	49. А (4; -2), В(10; 1), С(7; 2)
35. А(-2; -3), В(0; 7), С(8; 3)	50. А (0; 2), В(6; 5), С(3; 6)
36. А(1; 2), В(3; 12), С(11; 8)	51. А (-1; 3), В(5; 6), С(2; 7)
37. А(-4; -1), В(-2; 9), С(6; 5)	52. А (-2; 4), В(4; 7), С(1; 8)
38. А(5; 4), В(7; 11), С(15; 10)	53. А (3; -3), В(9; 0), С(6; 1)
39. А (-8; -3), В(4; -12), С(8; 10)	54. А (-1; 0), В(5; 3), С(2; 4)
40. А (1; 0), В(13; -9), С(7; 13)	55. А (-2; 3), В(4; 6), С(1; 7)
41. А (1; -1), В(7; 2), С(4; 3)	56. А (5; -3), В(11; 0), С(8; 3)
42. А (2; -2), В(8; 1), С(5; 2)	57. А (-4; 6), В(2; 9), С(-1; 10)
43. А (1; 0), В(7; 3), С(4; 4)	58. А (1; 3), В(7; 6), С(4; 7)
44. А (2; -1), В(8; 2), С(5; 3)	59. А (4; -1), В(10; 2), С(7; 3)
45. А (3; -2), В(9; 1), С(6; 2)	60. А (-2; 2), В(4; 5), С(1; 6)