5.7. Схема полного исследования функции и построение ее графика
Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:
указать область определения;
найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;
установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
найти асимптоты графика функции;
исследовать функцию на монотонность и экстремум;
определить интервалы выпуклости и вогнутости;
построить график функции.
Решение типового задания.
Пример
1.
Найти
производную от функции
.
Решение.
Введем вспомогательную функцию u
=
x2
+
3x+1,
тогда можно записать
где u
=
x2+3x+1.
По
формуле имеем
,
или, заменив u
на его значение:
К такой подробной записи прибегают только на начальной стадии освоения правил дифференцирования, а обычно вспомогательную функцию вводят только мысленно и выполняют указанные действия.
Пример
2.
Найти производную от функции
Решение.
Мысленно за u
принимаем выражение x
+7x–3
и получаем
Пример
3.
Найти
производную от функции
.
Решение. По правилу дифференцирования произведения записываем:
При
вычислении
принимаем u=1
x2,
тогда
Таким образом,
.
Пример
4.
Найти
производную от функции
.
Решение.
Принимаем
за вспомогательную функцию u
и получим
При
вычислении производной от
за вспомогательную функцию примем
:
.
Подставим
найденное значение в выражение для
,
окончательно получим:
Пример
5.
Дана функция
.
Найти
.
Решение. Дифференцируем исходные равенства по t:
По формуле получим
.
Пример 6. Найти производную неявно заданной функции у:
Решение. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х, получим:
или
Отсюда
находим
:
или
т.е.
Пример
7. Исследовать
функцию
и
построить ее график.
Решение. Проведем исследование по общей схеме.
1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.
2.
Для установления четности или нечетности
функции проверим выполнимость равенств
(тогда
четная
функция) или
(для нечетной функции) для любых
и
из области определения функции:
Следовательно
и
то есть данная функция не является ни
четной ни нечетной. Также не является
периодической.
3.
Данная функция является элементарной,
поэтому она непрерывна на своей области
определения, т.е. на интервалах
и
.
В точке x=1
функция терпит разрыв второго рода.
Так
как x=1
точка
разрыва функции, причем
.
Поэтому прямая x=1
является вертикальной асимптотой
графика.
Для
определения уравнения наклонной
асимптоты
воспользуемся формулами:
Тогда
Значит
прямая
есть горизонтальная асимптота графика
исследуемой функции.
4.
Точки пересечения с осями координат:
если
,
то
;
если
,
то
.
5. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
при
и
не
существует при
Тем самым имеем две критические точки:
.
Но точка
не принадлежит области определения
функции, экстремума в ней быть не может.
Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
убывает |
min |
возрастает |
убывает |
В
первом и третьем интервалах первая
производная отрицательна, следовательно,
здесь функция убывает, во втором
интервале–положительна и данная функция
возрастает. При переходе через точку
x=0
первая производная меняет свой знак с
минуса на плюс, поэтому в этой точке
функция имеет минимум:
.
Значит
точка
минимума.
6. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
при
и
не
существует при
.
Для наглядности результаты представим
в виде таблицы изменения знака
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
+ |
|
|
Перегиб |
|
|
На
первом интервале вторая производная
отрицательна и дуга исследуемой кривой
выпукла; на втором и третьем интервалах
>0,
тем самым график является вогнутым. При
переходе через точку
меняет свой знак, поэтому
абсцисса
точки перегиба. Следовательно,
точка
перегиба графика функции.
7. Учитывая полученные результаты, строим график функции:
Задачи №121-150:
Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:
121. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
122. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
123. |
а) |
б) |
в) |
|
г) |
д) |
|
124. |
а) |
б) |
в) |
|
г) |
д) |
|
125. |
а) |
б)
|
в) |
|
г) |
д) |
|
126. |
а) |
б) |
в) |
|
г) |
д) |
|
127. |
а) |
б) |
в) |
|
г) |
д) |
|
128. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
129. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
130. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
131. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
132. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
133. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
134. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
135. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
136. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
137. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
138. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
139. |
а)
|
б)
|
в) |
|
г) |
д)
|
|
140. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
)
|
д)
|
|
141. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
142. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
143. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
144. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
145. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
146. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
147. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
148. |
а)
|
б)
|
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
149. |
а)
|
б) |
в)
|
|
г)
|
д)
|
|
150. |
а)
|
б)
|
в) |
|
г)
|
д)
|
|
;
.
.
Задачи №151-180:
Построить
график функции
,
используя общую схему исследования.
151. y = x3 + 6x2 + 9x + 4 |
166. y = x3 - 6x2 + 9x - 4 |
152. y = (2 – x)(x + 1)2 |
167. y = - (x + 1)(x - 2)2 |
153.
|
168.
|
154. y = x3 + 3x2 - 9x + 5 |
169. y = x3 - 3x2 - 9x - 5 |
155. y = (x - 6)(x - 3)2 |
170. y = (x + 5)(x + 2)2 |
156.
|
171.
|
157. y = x3 + 6x2 - 15x + 8 |
172. y = x3 - 6x2 - 15x - 8 |
158. y = (1 – x)(x + 2)2 |
173. y = - (x + 2)(x - 1)2 |
159.
|
174.
|
160. y = x3 - 3x2 - 24x - 28 |
175. y = x3 + 3x2 - 24x + 28 |
161. y = (x + 4)(x - 2)2 |
176. y = (5 – x)(x – 2)2 |
162.
|
177.
|
163. y = x3 + 12x2 + 45x + 50 |
178. y = x3 - 12x2 + 45x - 50 |
164. y = (x + 2)(x - 1)2 |
179. y = (x - 4)(x + 2)2 |
165.
|
180.
|
