1.2 Прості еквівалентні перетворення

Згідно вище сказаного, за допомогою дискретизацiї за часом i квантування за рiвнем, аналоговий (неперервний) сигнал може бути перетворений на дискретний сигнал, i всi подальшi перетворення сигналу можуть виконуватися у дискретнiй (цифровiй) формi.

У найбiльш загальному виглядi, перетворення iнформацiї в дискретнiй формi подання задається в наступний спосiб:

- нехай множини X = {x1, x2, …, xn} і Y = {y1, y2, …, ym} є скiнченними алфавітами, а множини F = F(x1, x2, …, xn) і G = G(y1, y2, …, ym) - сукупностями всiх слiв скiнченної довжини в алфавiтах X i Y відповідно;

- якщо початкове дискретне повiдомлення записане в алфавiтi X, а кiнцеве дискретне повiдомлення ˗ в алфавiтi Y, то довiльне перетворення дискретної iнформацiї являє собою вiдображення множини F на множину G.

Серед рiзних перетворень дискретної iнформацiї, окремо видiляють еквiвалентнi перетворення, для яких кiнцева iнформацiя повнiстю й однозначно визначає вихiдну iнформацiю.

Розглянемо приклад еквiвалентного перетворення:

- нехай множина X = {A, a, B, b, Z, z, …} мiстить усi лiтери англiйської абетки, а множина Y = {1, 2, 3,…} є множиною номерiв зазначених лiтер;

- перетворення, що зводиться до замiни кожної лiтери на її номер, є еквiвалентним.

Розглянемо також приклад нееквiвалентного перетворення:

- нехай множина X = {0, 1, 2, 3,…, 9, +}, множина Y = {1, 2, 3,…} є множиною натуральних чисел, числа a і b належать множинi X` = {0, 1, 2, 3,…, 9}, що є пiдмножиною X;

- перетворення, що замiняє повiдомлення a + b на суму чисел а і b, не є еквiвалентним, оскiльки рiзнi пари доданків можуть давати однакову суму (наприклад, 5 +0 = 5, 4 + 1 =5, 3 + 2 = 5 тощо).

Перетворення iнформацiї характеризуються поняттям складностi.

За критерiєм складностi, окремо видiляють клас перетворень iнформацiї, що отримали назву простих перетворень iнформацiї.

Простим перетворенням iнформацiї називають таке перетворення, що полягає в замiнi кожної лiтери повiдомлення, представленого у вихiдному алфавiтi X, на певну комбiнацiю лiтер кiнцевого алфавiту Y.

Наведемо приклади простих перетворень iнформацiї:

˗ множина X = {0, 1, 2, 3}, множина Y = {a, b}, перетворення полягає в замiні лiтер 0, 1, 2, 3 iз X на певні попарні комбiнацiї з лiтер a i b, такі як 0 -> aa, 1 -> ab, 2 -> ba, 3 -> bb);

˗ множина X = {0, 1, 2, 3}, множина Y = {•, ‒ }, перетворення полягає в замiні лiтер 0, 1, 2, 3 iз X на певнi попарні комбiнацiї з лiтер • i ‒, такі як 0 -> • •, 1 -> • ‒, 2 -> ‒ •, 3 -> ‒ ‒);

˗ множина X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, множина Y = {0, 1}, перетворення полягає в замiні лiтер 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 iз X на певнi потрійні комбiнацiї з лiтер 0 i 1, такі як 0 -> 000, 1 -> 001, 2 -> 010, 3 -> 011, 4 -> 100, 5 -> 101, 6 -> 110, 7 -> 111.

Таким чином, за допомогою простих еквiвалентних перетворень, дискретну iнформацiю, задану в будь-якому вихiдному алфавiтi, можна представити у двохлiтерному кiнцевому алфавiтi.

Відзначимо, що, завдяки своїй універсальності, алфавітний спосіб подання інформації має дуже велике значення.

Значення алфавітних способів задавання інформації надзвичайно зросло після появи пристроїв для зберігання, переробки та передачі інформації, що функцioнують на базi використання алфавітів із двох символів, 0 i 1.

Очевидно, що інформацію, представлену в будь-якому скінченному алфавіті з n лiтер, можна закодувати у двохлiтерному алфавіті, підібравши довжину m двійкового вектору так, щоб виконувалася нерiвнiсть .

Наприклад, якщо задано алфавіт iз 8 лiтер, то кожну його лiтеру можна закодувати двійковим вектором довжини 3, а самі коди будуть мати наступний вигляд: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Інформаційні основи цифрових автоматів охоплюють поняття про перетворення інформації, перетворювачі інформації, алфавітні оператори та проблеми їх задавання.

З абстрактної точки зору, перетворення інформації є відображенням множини слів у деякому алфавіті у множину слів в іншому алфавіті.

Пристрій, що перетворює інформацію, називають перетворювачем інформації (наприклад, радіоприймач, який перетворює електромагнітні хвилі на голос; людина, що вирішує задачу - на вхід надходить постановка задачі, а на виході отримується її рішення).

Перетворення інформації, що є, взагалі кажучи, частковими, також називають алфавітними операторами.

Проблема задавання алфавітного оператору зі скінченною областю визначення вирішується тривіально, наприклад: за допомогою двовимірного масиву, у лівій частині якого зберігаються елементи області визначення, а в правій – відповідні елементи області значень.

Основною проблемою визначення алфавітних операторів є проблема знаходження способів задавання алфавітних операторів із нескінченною областю визначення за допомогою скінченних засобiв.

Важливим різновидом алфавітних операторів є абстрактні автомати (АА).