2. Визначення майбутньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Одним із механізмів визначення часової вартості грошових по­токів є компаундування (нарощення) (англ. — compounding). Ком­паундування є фінансово-математичною моделлю визначення май­бутньої вартості грошових коштів, які є у розпорядженні підприємств на початок планового періоду (у поточний момент часу).

Майбутня вартість таких грошових потоків визначається на­рощенням на величину процента, який може бути отриманий у разі, якщо наявні грошові кошти будуть використані для фінан­сування тієї чи іншої фінансової операції. Відповідно, майбутня вартість сучасного грошового потоку відповідає абсолютній ве­личині суми грошових коштів (включаючи основну суму та про­центи), яку отримає їх власник за умови їх інвестування через певний проміжок часу — плановий (аналізований) період. Такий підхід дає змогу фінансовому менеджеру отримати зіставні абсо­лютні величини вартості грошей для прийняття необхідних управлінських рішень щодо інвестування.

При цьому отримання належного результату значною мірою залежить від вибору ставки нарощення та порядку її застосуван­ня. Для фінансових розрахунків під час оцінювання часової вар­тості грошей використовують складний або простий процент.

Можливість практичного застосування моделей нарощення для визначення майбутньої вартості грошових потоків потребує їх відповідної фінансово-математичної формалізації. Для аналізу грошових потоків, запланованих до надходження в результаті здійснення інвестиційного проекту (інших фінансових операцій), можуть використовуватися різні моделі, у тому числі:

• просте нарощення вартості грошових потоків;

• нарощення ануїтетів (відстроченої або авансової ренти). Під простим компаундуванням (нарощенням) (single compounding) розуміється фінансово-математична модель розра­хунку вартості наявних грошових ресурсів, або теперішніх гро­шових потоків, використання яких протягом чітко визначеного періоду, як очікується, дасть можливість отримати відповідний економічний ефект у майбутньому. Результатом простого наро­щення є майбутня вартість (future value або FV) теперішнього грошового потоку, або грошових коштів, які перебувають у роз­порядженні на поточний момент часу. Отже, просте компаунду­вання — це визначення майбутньої вартості грошей, вкладених одноразово на певний термін під певний процент.

Оцінка майбутньої вартості грошових потоків із викорис­танням простого процента відповідає формулі (4.2) і має вигляд:

FV=PV*(1+n*i)

де FV— майбутня вартість грошових коштів;

PV— абсолютна величина наявних грошових коштів (тепері­шнього грошового потоку);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і— процентна ставка (виражена десятковим дробом).

Задача№1 Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5 % річних на п'ять років за умови нарахування простих процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде ре­зультат через п'ять років?

Розв’язання

Наприкінці першого року підприємець матиме:

100 гр. од. + 100 гр. од. • 5 % = 105 гр. од.

Нарахування процентів протягом другого року відбувається на ті самі 100 гр. од., і оскільки база для нарахування процентів лишається незмінною (100 гр. од.), сума процентів за рік також не змінюється (5 гр. од.).

Сума процентів за п'ять років у нашому випадку становитиме:

5,0 гр. од. • 5 = 25,0 гр. од.

При цьому майбутня вартість 100 гр. од., укладених одноразо­во під 5 % річних на п'ять років за умови нарахування простих процентів, становитиме:

FV= 100 гр. од. • (1 + 5 • 0,05) = 125 гр. од.

Якщо подібні приклади вирішувати арифметично, для наочно­сті та полегшення розрахунків їх доцільно звести в таку таблицю (табл. 1).

Таблиця 1

РОЗРАХУНОК МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ПОТОЧНОГО ВКЛАДУ ЗА УМОВИ НАРАХУВАННЯ ПРОСТИХ ВІДСОТКІВ (гр. од.)

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкладу (гр. 1 х 5 %)	Сума вкладу на кінець року
Гр. 1	Гр. 2	Гр. 3	Гр.4
1	100,0	5,0	105,0
2	100,0	5,0	110,0
3	100,0	5,0	115,0
4	100,0	5,0	120,0
5	100,0	5,0	125,0
Усього	X	25,00	X

Майбутня вартість наявних грошових коштів у разі викорис­тання складного процента визначається за формулою (4.3) і має вигляд:

FV=PV*(1+i)ⁿ,

Задача №2 Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5 % річних на п'ять років за умови нарахування складних процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через п'ять років?

Розв 'язок

Ідеться про одноразове вкладення грошової суми в банк на депозит за умови нарахування складного процента, тобто якщо нарахування процента за перший рік не відрізняється від нараху­вання, здійсненого у попередньому прикладі (наприкінці першо­го року підприємець отримає ті самі 100 гр. од. + 100 гр. од. * 5 % = 105 гр. од.), то база для нарахування процентів у наступ­них роках збільшуватиметься на суму вже нарахованих процен­тів. Наприклад, нарахування процентів за другий рік відбувати­меться вже не на 100 гр. од., а на суму вкладу з процентами, нарахованими за попередній період (тобто на 105 гр. од.), нара­хування процентів за третій рік відбуватиметься на суму почат­кового вкладу з урахуванням процентів, нарахованих за два по­передні роки, і так до кінця запланованого до інвестування періоду. Розрахунок величини приросту вкладу для полегшення арифметичних дій та для наочності доречно звести в таблицю (табл. 2).

Таблиця 2

РОЗРАХУНОК МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ПОТОЧНОГО ВКЛАДУ ЗА УМОВИ НАРАХУВАННЯ СКЛАДНИХ ПРОЦЕНТІВ, гр. од.

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкладу (гр. І х 5 %)	Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3)
Гр.1	Гр. 2	Гр. 3	Гр.4
1	100	5,0	105,0
2	105,0	5,25	110,25
3	110,25	5,51	115,76
4	115,76	5,79	121,55
5	121,55	6,08	127,63
Усього	X	27,63	X

З розрахунків, наведених у таблиці, зрозуміло, що за умови нарахування складних процентів через п'ять років підприємець матиме 127,63 гр. од.

Значно простіше можна визначити майбутню вартість тепе­рішнього грошового потоку із використанням фінансових таб­лиць, які містять абсолютне значення ставки нарощення, вихо­дячи із рівня ставки та кількості інтервалів нарахувань про­центів.

У додатку до розділу наведено математичну таблицю А-1, у якій підраховано фактор майбутньої вартості процента для різ­номанітних комбінацій / та п (FVIF_i.n), тобто визначена майбутня вартість однієї грошової одиниці, залишеної на рахунку на п пе­ріодів під і-процентну ставку.

Якщо

FVIF_i.n =(1+і)ⁿ

то формула (3) матиме вигляд:

FV_n=PV *FVIF_i.n (8)

де FVIF_i.n — абсолютне значення ставки нарощення;

і — процентна ставка (виражена десятковим дробом);

п — кількість інтервалів у плановому періоді.

У нашому випадку в таблиці А-1 FVIF для п'яти років із 5-процентною ставкою знаходимо цифру, яка стоїть на перехре­щенні стовпчика для періоду 5 і стовпчика для 5 %. Бачимо, що FVIF= 1,2763.

Звідси FV_n = PV * (FVIF_i.n) = 100 гр. од. • (1,2763) = 127,63 гр. од.

За наявності фінансового калькулятора поступово вводимо значення N, I, PV. Натиснувши кнопку FV, отримаємо відпо­відь (при введенні даних прикладу 2 отримаємо FV = 127,63).

Ануїтет (annuity) (рента) — це серія рівновеликих платежів (внесків) протягом визначеної кількості періодів. Розрізняють звичайний та авансовий ануїтет.

За звичайного ануїтету платежі здійснюються наприкінці кожного періоду (постнумерандо), за авансового — на початку кожного періоду (пренумерандо).

Ануїтет може бути вихідним грошовим потоком підприємця (здійснення періодичних рівновеликих внесків на рахунок бан­ківської установи) або вхідним грошовим потоком (надходження орендної плати, яка найчастіше встановлюється однаковою фік­сованою сумою).

Задача № 3 Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок наприкінці кожно­го року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей бу­де на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичне рішення прикладу зведемо в табл. 3.

Таблиця 3

РОЗРАХУНОК МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ ЗВИЧАЙНОГО АНУЇТЕТУ, гр. од.

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкла­ду (гр. 2 • 5 %)	Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3 + 100 гр. од.)
Гр. 1	Гр. 2	Гр.З	Гр. 4
1	0	0	100,0
2	100,0	5,00	205,0
3	205,0	10,25	315,25
4	315,25	15,76	431,01
5	431,01	21,55	552,56
Усього	X	52,56	X

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому ви­падку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

(9)

де FVA_n — майбутня вартість ануїтету;

РМТ — абсолютна величина періодичних рівновеликих ви­плат (ануїтетів);

п — кількість інтервалів у плановому періоді;

і — процентна ставка (виражена десятковим дробом);

Визначення майбутньої вартості ануїтетів за допомогою таблиць передбачає використання фактору процента майбут­ньої вартості ануїтетів (FVIFA_і.n) за п періодів з і-процентною ставкою.

Значення FVIFA в таблиці А-2 вже підраховано для різних комбінацій / та п. Для того щоб обчислити майбутню вартість ануїтетів за допомогою таблиць, використовується формула:

(10)

У таблиці А-2 на перехрещенні 5 років та 5 % знаходимо зна­чення FVIFA = 5,5256.

При використанні формули (10) визначимо майбутню вар­тість ануїтетів у 100 гр. од. для 5 років при 5 % ставці.

100 грн х (5,5256) = 552,56 гр. од.

Слід звернути увагу, що формула (10) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти).

Проте якщо має місце авансовий ануїтет (рента), порядок кі­лькісної оцінки майбутньої вартості грошового потоку дещо змі­нюється.

Задача №4 Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійсню­ються на депозитний рахунок на початку кож­ного року під 5 % річних протягом п'яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п'ятого року?

Арифметичний розв'язок задачі зведемо в таблицю (табл. 4).

Рік	Сума вкладу на початок року	Сума приросту вкла­ду (гр. 2 • 5 %)	Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3 + 100 гр. од.)
Гр. 1	Гр. 2	Гр.3	Гр. 4
1	100	5,0	105,0
2	205,0	10,25	215,25
3	315,25	15,76	331,01
4	431,01	21,55	452,56
5	552,56	27,63	580,19
Усього	х	80,19	х

Необхідність коригування фінансово-математичної моделі оцінки відстроченої ренти обумовлена відмінностями у порядку руху грошових коштів, що наочно можна побачити з таблиці. Так, для звичайного ануїтету грошові потоки виникають по за­кінченні першого інтервалу періоду, який аналізується (саме то­му звичайний ануїтет часто називають відстроченим, постнумерандо).

Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже починаючи з першого інтервалу планового періоду. Згадані відмінності обумовлюють різницю між відстроченим та авансо­вим ануїтетом на один інтервал, що і закладено у фінансово-математичну модель оцінки майбутньої вартості авансового ануї­тету.

Для розрахунку майбутньої вартості авансового ануїтету за­стосовується формула:

*(1+і)=

Використовуючи наведену формулу, розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету в наведеному прикладі 4.4 можна записати у такий спосіб:

= 552,56 * (1 + 0,05) = 552,56 • 1,05 = 580,19 гр. од.

Нарахування процентів за авансового ануїтету здійснюється раніше, тому більше заробляється процентів (майбутня вартість авансових ануїтетів більша 580,19 гр. од. проти 552,56 гр. од. за звичайного ануїтету).

Задача №5 Підприємцеві запропонували варіанти вкладання грошей у розмірі 500 гр. од. під 5 % (за умови нарахування складних процентів):

1. одноразово на п'ять років;

2. поступово рівними частками протягом п'яти років з нара­хуванням процентів у кінці кожного року (постнумерандо);

3. поступово рівними частками протягом п'яти років з нара­хуванням процентів на початку кожного року (пренумерандо).

Розв 'язок

1) Ідеться про просте нарощення вкладу в розмірі 500 гр. од. або про просте компаундування.

Застосовуємо формулу (4.8) та значення таблиці А-1:

FV= 500 гр. од. • FVIF_{5 %5} = 500 гр. од. * 1,2763 = 638,15 гр. од.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

638,15 -500= 138,15 гр. од.

2) Ідеться про компаундування звичайних ануїтетів (ренти) у розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок при­ кладу наведено в табл. 4.3.

- Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

552,56 - 500 = 52,56 гр. од.

3) Мова йде про компаундування авансових ануїтетів (ренти) У розмірі 100 гр. од. щорічно протягом п'яти років. Розв'язок прикладу наведено в табл. 4.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

580,19-500 = 80,19 гр. од.

Висновки

Наведені розрахунки свідчать, що п'ять вкладів по 100 гр. од. кожного року протягом п'яти років є менш привабливим для під­приємця проектом з погляду прибутковості інвестицій.

За одноразового вкладення 500 гр. од. на п'ять років зиск ста­новить 138,15 гр. од. проти вкладання 100 гр. од. щорічно протя­гом п'яти років та отримання прибутку на суму 80,19 гр. од. за нарахування процентів пренумерандо або отримання прибутку на суму 52,56 гр. од. за умови нарахування процентів постнумерандо.

Отже, ефект від вкладення грошових коштів одноразово наба­гато більший, але і ризик з часом зростає, оскільки ці гроші «ле­жать» на депозитному рахунку всі п'ять років. Цей приклад ще раз підтверджує концепцію, що чим вищий ризик, тим більша компенсація за цей ризик, і сьогодні гроші дорожчі, ніж; завтра.

Підприємець у нашому прикладі вибере той варіант вкладення грошей, який, на його думку, буде не тільки більш привабливим з погляду розрахунків, а й враховуватиме суб'єктивні чинники: за­гальну ризикованість операції; репутацію банку, що відкриває депозитний рахунок; можливості швидкого та ефективного реін-вестування отриманих грошей тощо.