2. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

Доказательство:

Пусть Q - грань выпуклого многогранника М,  - плоскость этой грани. Так как многогранник М выпуклый, то он целиком расположен в одном полупространстве относительно плоскости , и общие точки плоскости  и многогранника M образуют грань Q, то есть пересечением многогранника M и плоскости  является многоугольник Q. Поскольку пересечением двух выпуклых фигур является выпуклая фигура, то грань Q многогранника М - выпуклый многоугольник.

3. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

Доказательство:

Пусть плоскость  проходит через внутреннюю точку А выпуклого многогранника М. Пересечением выпуклых фигур М и  является некоторая выпуклая фигура, содержащая внутренние точки. Граница многогранника М представляет собой объединение конечного числа выпуклых многоугольников. Следовательно, пересечением секущей плоскости  с гранями многогранника является конечное число отрезков, образующих границу фигуры Q - выпуклого многоугольника.

Билет № 16.

1. Расстояние между прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

2. Угол между плоскостями в координатах.

Билет № 17.

1. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов в координатах.

2. Объем шара и его частей.

Билет № 18.

1. Общее уравнение плоскости. Виды уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

Площадь поверхности шара и его частей.

Билет № 19.

1. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости. Расстояние от точки до плоскости в координатах.

Шар и сфера. Уравнение сферы и неравенство шара. Пересечение шара и сферы с плоскостью. Плоскость, касательная к сфере и шару.

Билет № 20.

1. Свойства перпендикулярных плоскостей.

2. Усеченный конус и его свойства. Площадь полной и боковой усеченного конуса.

Билет № 21.

1. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.

2. Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Объем пирамиды.

Билет № 22.

1. Теоремы о линии пересечения плоскостей: одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости; каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.

2. Признак выпуклого многогранника. Понятие о развертке многогранника.

Теорема - признак выпуклого многогранника (обратная теорема). Если многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани, то он выпуклый.

Доказательство (от противного):

1) Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что многогранник не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В, что на отрезке АВ есть точка Х, не принадлежащая М. α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M₁, состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.

2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M₁ являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M₁ целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M₁ и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно. Следовательно, точки А и В не лежат по разные стороны от выбранной грани. Многогранник выпуклый по определению.

Поверхностью многогранника является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников является общей только для двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью.

Если модель многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получится многоугольник, который называется разверткой данного многогранника.

Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки, стороны этих многоугольников - ребрами развертки, вершины многоугольников - вершинами развертки, причем склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро, а склеиваемые вершины - за одну вершину.

Для того чтобы из данной развертки можно было склеить выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих условий:

1) Условие замкнутости: каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо одной стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с данным).

2) Условие Эйлера: если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то выполняется теорема Декарта-Эйлера.

3) Условие выпуклости: сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.