Билет № 6.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема - признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть a аждая боковая грань прямой призмы - прямоугольник (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания  перпендикулярно сторонам основания по свойству прямой, перпендикулярной плоскости). Боковое ребро прямой призмы является ее высотой.

Теорема о площади боковой поверхности наклонной призмы: Площадь боковой поверхности на клонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.

Доказательство: Каждая стереометрии, как и в планиметрии, два луча h = OA и k = O₁A₁, называются сонаправленными или одинаково направленными (h  k; OA и k  O₁A₁), если они или лежат на параллельных прямых и расположены в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала, или один из них содержится в другом.

,

Два луча h = OA и k = O₁A₁, называются

2. Правильные многогранники. Пять типов правильных многогранников.

Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани - равные друг другу правильные многогранники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные углы равны.

Теорема о видах правильных многогранников: Существует пять различных типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр, правильный октаэдр, правильный додекаэдр, правильный икосаэдр.

Доказательство:

1) По теореме Эйлера для произвольного правильного многогранника выполняется равенство: В - Р + Г = 2, где В - количество вершин многогранника, Р - количество ребер, Г - количество граней. Пусть каждая грань многогранника содержит m сторон (m  3), а в каждой вершине сходится n ребер (n  3).

2) Так как у многогранника B вершин, в каждой из которых сходится n ребер, то у многогранника Bn ребер. Любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому общее количество ребер многогранника равно 0,5Bn. Тогда

3) В каждой грани многогранника содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, то у многогранника ребер 0,5Гm. Тогда

4) Из этих формул получим: Отсюда:

Из полученных неравенств следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники.

5) Возможны пять случаев:

1) m = n = 3. Все грани - правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 3 ребра.

Это правильный тетраэдр.

2) m = 4; n = 3. Все грани - квадраты, в каждой вершине сходятся 3 ребра.

Это куб, правильный гексаэдр.

3) m = 3; n = 4. Все грани - правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 4 ребра.

Это правильный октаэдр.

4) m = 5; n = 3. Все грани - правильные многоугольники, в каждой вершине сходятся 3 ребра.

Это правильный додекаэдр.

5) m = 3; n = 5. Все грани - правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 5 ребер.

Это правильный икосаэдр.

Билет № 7.

1. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Основные свойства наклонных и их проекций.

Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Пространственная теорема Пифагора.

Билет № 8.

1. Теорема о трех перпендикулярах (прямая и обратная).

Декартовы координаты в пространстве. Координаты середины отрезка. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Билет № 9.

1. Угол между прямой и плоскостью. Понятие о параллельном проектировании.

2. Площадь поверхности и объем усеченной пирамиды.

Билет № 10.

1. Параллельность плоскостей. Признак параллельности плоскостей.

2. Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.

Ненулевые векторы называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Замечание. Понятие компланарности рассматривается для трех и более векторов, так как два вектора всегда компланарны. Если среди трех векторов хотя бы два коллинеарны, то эти три вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеется нулевой вектор, также являются компланарными.

Пусть на плоскости α даны неколлинеарные векторы произвольный вектор этой плоскости. Если вектор коллинеарен с одним из данных векторов, то можно записать: Если вектор не коллинеарен ни с одним из данных векторов, то по правилу параллелограмма Полученное равенство называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам а числа х и у - коэффициентами разложения.

Теорема о разложении вектора: Если на плоскости дана упорядоченная пара неколлинеарных векторов, то для любого вектора этой плоскости существует единственная упорядоченная пара чисел такая, что выполняется векторное равенство:

Докажем единственность существования пара чисел х и у. Допустим, что существует пара чисел х₁ и у₁, которая также удовлетворяет векторному равенству Тогда

Из полученного равенства следует, что либо векторы коллинеарны (противоречит условию), либо

Любой вектор компланарный с неколлинеарными векторами является линейной комбинацией векторов Поэтому пару векторов называют базисом на плоскости.

Определение. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов . Векторы называются базисными векторами.

Базис из векторов обозначают . При этом равенство называется разложением вектора по базису , а числа х и у - координатами вектора в базисе , разложения.

Для трех компланарных векторов справедливо равенство . Справедливо и обратное утверждение: если для трех векторов справедливо равенство , то они компланарны.

Теорема (признак компланарности трех векторов): Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа x, y, z, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство:

Доказательство: Вектор разложен по базису , а его координаты в этом базисе

Определение. Три вектора называются некомпланарными, если изображающие их направленные отрезки не лежат в одной плоскости и не параллельны одной плоскости.

Т еорема о разложении вектора по базису в пространстве. Если дана упорядоченная тройка некомпланарных векторов, то для любого вектора пространства существует единственная упорядоченная тройка чисел удовлетворяющих равенству:

Доказательство: Пусть даны три некомпланарных вектора и произвольный вектор . Если вектор компланарен с любыми двумя из данных трех векторов , то теорема верна. Если вектор компланарен с двумя векторами Пусть теперь никакие три из векторов некомпланарны. От произвольной точки О отложим векторы Так как направленные отрезки некомпланарны, то плоскости АОВ, АОС, ВОС различны.

Проведем через точку D прямую, параллельную ОС. Тогда эта прямая пересечет плоскость АОВ в точке D₁. По правилу треугольника Векторы компланарны. Следовательно, Вектор Следовательно,

Полученное равенство называется разложением вектора по трем некомпланарным векторам ; числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Любой вектор пространства является линейной комбинацией тройки некомпланарных векторов . Эта тройка образует базис векторов в пространстве. Числа x, y, z называются координатами вектора в базисе .

Билет № 11.

1. Свойства параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.

2. Разложение вектора по базису.

Билет № 12.

1. Двугранный угол и его измерение. Угол между двумя плоскостями.

Понятие объема тела. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Билет № 13.

1. Перпендикулярность плоскостей. Признаки перпендикулярности двух плоскостей.

Понятие вектора, координаты вектора. Линейные операции над векторами.

Билет № 14.

1. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

2. Уравнение прямой. Виды уравнения прямой. Угол между прямыми в координатах.

Билет № 15.

1. Свойства параллельных прямых в пространстве.

2. Свойства выпуклых многогранников.

Свойства выпуклого многогранника:

1. Плоскость каждой грани выпуклого многогранника является его опорной плоскостью, т. е. выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Д оказательство (методом от противного):

1) Пусть α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M₁, состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.

2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M₁ являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M₁ целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M₁ и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно.