2) В сечении получается круг, подобный основанию;

3) Площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство:

1. Построим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса и одну из образующих. Получим осевое сечение. Плоскость ASB пересекает плоскость основания и плоскость сечения по прямым АВ II A₁B₁.

2. ΔA₁SO₁ΔASO 

3. Из подобия ΔA₁SO₁ΔASO 

4. Из подобия ΔA₁SO₁ΔASO 

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между его основанием и параллельной ему плоскостью.

Основание полного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются соответственно нижним и верхним основанием усеченного конуса. Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого.

Теорема об объеме усеченного конуса. Объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований равны R₁ и R₂, а высота - Н, вычисляется по формуле:

Доказательство:

Дополним усеченную пирамиду до полной. Тогда объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополнительной пирамид.

По свойству параллельных сечений

Билет № 4.

1. Угол между лучами в пространстве. Теорема об углах с попарно сонаправленными сторонами. Угол между прямыми в пространстве.

В стереометрии, как и в планиметрии, два луча h = OA и k = O₁A₁, называются сонаправленными или одинаково направленными (h  k; OA и k  O₁A₁), если они или лежат на параллельных прямых и расположены в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала, или один из них содержится в другом.

,

Два луча h = OA и k = O₁A₁, называются противоположно направленными (h  k; OA  O₁A₁), если они или лежат на параллельных прямых и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через их начала, или в том случае, когда лучи лежат на одной прямой и либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку или отрезок этой прямой. из них содержится в другом. можно провести плоскость, и притом только одну. Если лучи h = OA и k = O₁A₁ лежат ни на параллельных прямых, ни на одной прямой, то эти лучи не сонаправлены и не противонаправлены.

Угол между сонаправленными лучами равен 0, угол между противонаправленными лучами равен 180. Если лучи h и k не сонаправлены и имеют общее начало, то величина угла между ними определяется как угловая величина плоского угла (h, k) со сторонами h и k и обозначается: Если же начала несонаправленных лучей h и k различны, то для определения величины угла между ними поступают так: из любой точки О пространства проводят лучи Тогда

Теорема об углах с сонаправленными сторонами. Два угла с попарно сонаправленными сторонами равны.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1. Если лежат в одной плоскости, то утверждение теоремы доказано в планиметрии.

2 . Пусть не лежат в одной плоскости. Докажем, что

3. Отметим на сторонах точки Отложим на сонаправленных сторонах отрезок О₁А₁ = ОА на луче и отрезок О₁В₁ = ОВ на луче Проведем отрезки ОО₁, АА₁, ВВ₁, АВ, А₁В₁.

4. Рассмотрим четырехугольник ОО₁А₁А. ОА = О₁А₁, ОА II О₁А₁ (параллелограмм по признаку). Тогда ОО₁ II АА₁, ОО₁ = АА₁. Рассмотрим четырехугольник ОО₁B₁B. ОB = О₁B₁, ОB II О₁B₁ (параллелограмм по признаку). Тогда ОО₁ II BB₁, ОО₁ = BB₁.

5. Рассмотрим четырехугольник BB₁А₁А. ВВ₁ = АА₁, ВВ₁ II AА₁ (параллелограмм по признаку). Тогда AB II А₁В₁, AB = А₁В₁.

6. OAB = О₁А₁B₁ (ССС): О₁А₁ = ОА, О₁В₁ = ОВ, А₁В₁ = АВ.  АОB = А₁О₁B₁.

Заметим, что два луча, сонаправленные с третьим лучом, сонаправлены.

Величина угла между двумя лучами не зависит от выбора точки, от которой проводятся сонаправленные с ними лучи.

Величина угла между параллельными прямыми считается равной нулю.

Из планиметрии известно, что за величину угла между пересекающимися прямыми принимается величина наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Величина угла между скрещивающимися прямыми а и b определяется следующим образом. Через произвольную точку М проводим прямую a₁ II a и прямую b₁ II b. Находим величину угла между пересекающимися прямыми a₁ и b₁. Эту величину угла и принимаем за величину угла между скрещивающимися прямыми а и b.

Определение. За величину угла между скрещивающимися прямыми а и b принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке М прямыми a₁ и b₁, то есть

Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М.

Из вышесказанного следует, что величина угла между скрещивающимися прямыми в пространстве принадлежит промежутку [0; 90].

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если величина угла между ними равна 90.