Билет № 2.

1. Классификация взаимного расположения двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых.

Виды взаимного расположения прямых в пространстве.

1. Пересекающиеся прямые – прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

2. Параллельные прямые – прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

3. Скрещивающиеся прямые – две прямые, не лежащие в одной плоскости.

Определение: Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Иначе говоря, скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые не проходит ни одна плоскость.

Т еорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Дано:

Доказать: а и b скрещиваются.

Доказательство (метод от противного):

1. Предположим, что прямые а и b не скрещиваются. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях прямые а и b лежат в одной плоскости – плоскости .

2. Плоскость  содержит прямую b и точку С – точку пересечения прямой а с плоскостью . а ∩  = С.

3. Согласно принятому допущению плоскости  и  совпадают, т. е. прямая а лежит в плоскости .

4. Это противоречит условию, так как прямая а пересекает плоскость . Следовательно, прямые а и b не лежат в одной плоскости, а значит, скрещиваются по определению скрещивающихся прямых.

Из доказательства следует, что прямая, пересекающая плоскость в некоторой точке М, скрещивается с любой прямой, лежащей в плоскости и не проходящей через точку М.

Теорема А (признак скрещивающихся прямых). Если четыре точки А, В, С и Е не лежат в одной плоскости, то прямые АВ и СЕ, АС и ВЕ, АЕ и ВС попарно скрещиваются.

Доказательство:

Через любые три точки, согласно аксиоме плоскости, можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость АВС. Тогда согласно условию точка Е не лежит в плоскости АВС. Тогда согласно аксиоме принадлежности прямой плоскости прямая СЕ пересекает плоскость АВС в точке С. Точка С не лежит на прямой АВ, так как в противном случае через точки А, В и С можно провести бесконечное множество плоскостей, а четыре точки А, В, С и Е лежат в одной плоскости.

2. Призма. Виды призм. Боковая и полная площадь поверхности и объем призмы.

Призмой называется многогранник, у которого две грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответствующие стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Эти остальные грани называются боковыми гранями призмы, а их стороны, не лежащие на основаниях призмы, - боковыми ребрами призмы. n-угольная призма имеет: n + 2 грани, 3n ребра, 2n вершины. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. У n-угольной призмы n(n – 3) диагонали.

Призма называется n-угольной, если ее основание - выпуклый n-угольник. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию. В противном случае призма является наклонной. Призма называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, и боковые ребра перпендикулярны основанию.

Сумма площадей всех боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности. Сумма площадей всех граней призмы называется площадью ее полной поверхности. Поскольку основания призмы - равные многоугольники, то

Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на боковое ребро.

Доказательство: Каждая боковая грань прямой призмы - прямоугольник (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания  перпендикулярно сторонам основания по свойству прямой, перпендикулярной плоскости). Боковое ребро прямой призмы является ее высотой.

Теорема о площади боковой поверхности наклонной призмы: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.

Доказательство: Каждая боковая грань наклонной призмы - параллелограмм. Если рассматривать боковое ребро призмы как основание параллелограмма, то высоты параллелограммов боковых граней, соединенные последовательно, образуют плоский многоугольник, перпендикулярный боковым ребрам по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Этот многоугольник называют перпендикулярным сечением призмы.

Теорема об объеме прямой призмы: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

Д оказательство:

1. Для прямой треугольной призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник. Проведем высоту основания BD, которая разделит треугольник основания на два прямоугольных треугольника: ABD и CBD. По свойству объемов

2. Для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник. Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм:

Теорема об объеме наклонной призмы: Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения: