Завдання 2. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

1. У першому ящику 20 куль, з них — 15 білих. У другому ящику 25 куль, з них — 10 білих. З кожного ящика навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох взяли навмання одну. Обчислити ймовірність того, що це — біла куля.

2. Прилади одного призначення виготовляються на трьох заводах: на першому — 45%, на другому — 25%, на третьому — 30% усіх виробів. Надійність приладів з першого заводу дорівнює 0,8, другого — 0,75, третього — 0,7. Навмання взятий прилад виявився ненадійним. На якому заводі найімовірніше його виготовили?

3. Ймовірність того, що клієнт банку не поверне кредит в період економічного росту дорівнює 0,04, в період економічної кризи — 0,13. Припустимо, що ймовірність того, що буде період економічного росту, дорівнює 0,65, кризи — 0,35. Знайти ймовірність того, що випадково вибраний клієнт банку не поверне отриманий кредит.

4. У магазині є 20, 30 і 40 однотипних виробів, виготовлених відповідно на I, II та III фірмах. Ймовірності високоякісних серед них становлять 0,9, 0,8 і 0,6 відповідно. Яка ймовірність того, що навмання куплений виріб високої якості? Яка ймовірність того, що цей високоякісний виріб виготовлений на ІІІ фірмі?

5. У групі спортсменів 6 лижників, 5 велосипедистів і 4 спринтери. Ймовірність виконати норму для лижника 0,9, для велосипедиста — 0,8, для спринтера — 0,75. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен виконав норму.

6. Сировина на підприємство надходить від трьох постачальників у кількісному співвідношенні 3:4:5. Високоякісна сировина у цих поставках становить 80%, 70% і 60% відповідно. Яка ймовірність того, що навмання вибрана партія сировини не високоякісна?

7. У першому кошику знаходяться 3 чорних і 4 червоних мотки ниток, у другому — 4 чорних і 3 червоних. Із першого кошика в другий навмання перекладають 1 моток. Потім із другого кошика теж навмання витягають 1 моток. Яка ймовірність того, що цей моток чорний?

8. Для отримання заліку з ТЙМС викладач підготував 50 задач: 20 — з теорії ймовірностей, 20 — з математичної статистики, 10 — з теорії випадкових процесів. Для отримання заліку треба розв’язати одну задачу. Студент вміє розв’язувати лише половину задач із кожного розділу. Відомо, що студент отримав залік. Знайти ймовірність того, що студент розв’язав задачу з теорії ймовірностей.

9. Дві компанії постачають у магазин 8- і 6-циліндрові мотори. 40% усієї продукції, яка надходить у магазин, — з І компанії, 60% — з ІІ. Перша компанія постачає 8- і 6-циліндрові мотори у кількісному співвідношенні 1:4, а друга — 2:3 відповідно. Навмання вибрано мотор. Яка ймовірність того, що він 8-циліндровий?

10. Є 2 кошики з кульками (по 10 і 15 штук). У кожному кошику є по одній білій кульці. Із першого кошика в другий переклали одну кульку, а потім із другого теж навмання вийняли одну кульку. Знайти ймовірність того, що вона біла.

11. Спортивна команда укомплектована спортсменами 1-го, 2-го і 3-го розрядів у співвідношенні 3:5:1 (за кількістю). Ймовірності здобути призові місця для спортсменів цих розрядів становлять відповідно 0,9; 0,7 і 0,5. Один із спортсменів здобув призове місце. Спортсменом якого розряду, найвірогідніше, він є?

12. У магазин завезено жіночі блузи: 40 — з першої фабрики, 60 — з другої. Частки блуз великих розмірів на фабриках становлять відповідно 15% і 20%. Навмання вибрана блуза виявилася великого розміру. Яка ймовірність того, що вона завезена з ІІ фабрики?

13. Кількість замовлень для підприємства за певний проміжок часу від І постачальника дорівнює 40, а від ІІ постачальника — 60. Відомо, що частки за­мов­лень, виконаних вчасно, становлять 70% і 80% відповідно. Яка ймовірність того, що навмання вибране замовлення виконане вчасно?

14. Рекламний відділ готує рекламу двох типів — одну для бізнесменів (тип І), другу — для людей інших професій (тип ІІ) у співвідношенні 7:3. Для цих двох типів рекламних проектів частка високоякісних рекламних продуктів становить 80% і 90% відповідно. Знайти ймовірність того, що навмання ви­браний рекламний продукт високоякісний.

15. Розглядаються вибірки із жителів двох міст: жителів міста А (1000 чол.) і міста В (3000 чол.). Частки безробітних у цих містах становлять 10% і 15% відповідно. Інші міста до уваги не беруться. Навмання вибрана особа — безробітний. Знайти ймовірність того, що ця особа з міста А.

16. У ящик, який містить 3 кульки, опущено білу кульку, після чого з нього нав­мання витягають одну кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька біла, якщо рівноможливими є всі припущення про початковий склад кульок у ящику.

17. На студентських зборах було 60, 70 і 80 делегатів від трьох вузів міста. Частка студентів-відмінників у цих делегаціях становить: для І вузу — 40%, ІІ — 10%, ІІІ — 20%. Один з делегатів, що дав інтерв’ю газеті, виявився відмінником. Яка ймовірність того, що він з ІІ вузу?

18. У магазин трикотажних виробів надійшов товар, 60% якого виготовлено на першій фабриці, 30% — на другій, 10% — на третій. Частка бракованих виробів становить: для першої фабрики — 0,01, для другої — 0,02, для третьої — 0,03. Знайти ймовірність того, що навмання куплений виріб виявиться бракованим.

19. Надійшло три однакових партії продукції. У першій партії 25% продукції є неякісними, в інших партіях — відповідно 13% і 15%. Навмання взята річ виявилась якісною. Обчислити ймовірність того, що вона належить до другої партії.

20. Два автомати виготовляють деталі на конвеєр. Ймовірність виготовлення нестандартної деталі першим автоматом — 0,02, другим — 0,03. Продуктивність другого автомату вдвічі більша, ніж першого. Обчислити ймовірність того, що навмання взята з конвеєра деталь буде нестандартною.

21. У групі 25 студентів, з них 7 відмінників, 10 ударників, 6 трієчників і 2 двієчники. Ймовірність скласти іспит для відмінника — 0,95, для ударника — 0,8, для трієчника — 0,4 і для двієчника — 0,1. Обчислити ймовірність того, що навмання вибраний студент складе іспит.

22. Виріб контролюється одним із двох товарознавців. Перший товарознавець контролює 60% всіх виробів. Ймовірність не припустити помилки для першого товарознавця дорівнює 0,8, а для другого — 0,9. При контролі виробу помилки не було. Яка ймовірність того, що його контролював другий товарознавець?

23. Ймовірності влучення для кожного із трьох стрільців при одному пострілі дорівнюють відповідно 0,4; 0,6; 0,7. Одночасно вистрілили всі три стрільці. В мішені виявилося одне влучення. Обчислити ймовірність того, що влучив перший стрілець.

24. Для спостереження за тваринами в природних умовах встановлено 3 фотокамери. Ймовірності для кожної з них провести зйомку є однаковими, а ймовірності якісного знімку на кожній з них дорівнюють відповідно 0,8; 0,7; 0,9. У полі зору спостерігача з’явилась тварина. Знімок виявився неякісним. Яка ймовірність того, що знімок зроблений третьою фотокамерою?

25. З ящика, який містить 7 білих і 3 чорних кульки, загублено кульку. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята після цього кулька буде білою.

26. М’ясні консерви завозяться в магазин двома заводами. Консерви вищого ґатунку на першому заводі становлять 80%, на другому — 75%. Знайти частки завезень із кожного консервного заводу, якщо ймовірність того, що навмання куплений виріб буде вищого ґатунку, — 0,78.

27. У ящику з однаковою ймовірністю знаходиться кулька білого або чорного кольорів. В ящик опускають одну білу кульку і потім навмання виймають одну кульку. Вона виявилась білою. Яка ймовірність того, що в ящику залишилась біла кулька?

28. Агентство зі страхування автомобілів поділяє водіїв на три класи: малоризикові, помірно ризикові, сильноризикові, і вважає, що з усіх водіїв, які застрахували автомобіль, 30% належать до першого класу, 50% — до другого і 20% — до третього. Ймовірності протягом року потрапити в аварію водіям першого, другого і третього класів відповідно дорівнюють 0,02; 0,03 і 0,05. Водій застрахував свою машину та протягом року потрапив у аварію. Знайти ймовірність того, що він належить до водіїв другого класу.

29. Проводяться три види страхування. Ймовірність того, що страхового випадку не буде: для першого виду страхування — 0,9; для другого — 0,95; для третього — 0,85. Питома вага кількості договорів для кожного з трьох видів страхування становить відповідно 50%, 30%, 20%. Знайдіть ймовірність того, що страховий випадок не настане.

30. Відомо, що 96% продукції задовольняє стандарту. Спрощена схема контролю визнає придатною стандарту продукцію з ймовірністю 0,95, а нестан­дарт­ну — з ймовірністю 0,01. Знайти ймовірність того, що виріб, який пройшов контроль, задовольняє стандарт.